Имеем следующие результаты измерений
Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины :
Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим . Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx . В таком случае мы можем записать результат измерений в виде
Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δx не являются точными, запись (3) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.
Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде
Это означает, что из 100 шансов – 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм .
Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (2), найти оценку результата измерений , его ошибку Δx и надежность P.
Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.
В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой
где Δx – отклонение от величины истинного значения;
σ – истинная среднеквадратичная ошибка;
σ 2 – дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.
Как видно из (4) функция имеет максимальное значение при x = 0 , кроме того, она является четной.
На рис.16 показан график этой функции. Смысл функции (4) заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Δx и двумя ординатами из точек Δx1 и Δx2 (заштрихованная площадь на рис.16) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Δx1,Δx2) .
Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки (2)
где – n число измерений.
Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению μ измеряемой величины при n → ∞.
Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина
Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n → ∞ S стремится к постоянному пределу σ
С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.
Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина
Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений.
Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины . Результат записывается в виде:
Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 – 50 раз.
В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него.
Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом
Стьюдента t.
Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что
где Δx – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности;
– среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.
- Из сказанного следует:
- Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического.
- При n → ∞ → 0, т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение μ, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение P (например, P = 0.95), нетрудно нейти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на точность результата.
Для этого удобнее воспользоваться таблицей 3, в которой интервалы заданы в долях величины σ, являющейся мерой точности данного опыта по отношению к случайным ошибкам.
Таблица 2
Таблица 3
| Δ = Δx/σ | Значения Р | |||||
| 0.5 | 0.7 | 0.9 | 0.95 | 0.99 | 0.999 | |
| 1.0 | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 17 |
| 0.5 | 3 | 6 | 13 | 18 | 31 | 50 |
| 0.4 | 4 | 8 | 19 | 27 | 46 | 74 |
| 0.3 | 6 | 13 | 32 | 46 | 78 | 127 |
| 0.2 | 13 | 29 | 70 | 99 | 171 | 277 |
| 0.1 | 47 | 169 | 273 | 387 | 668 | 1089 |
При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:
- Результат каждого измерения запишите в таблицу.
- Вычислите среднее значение из n измерений
Рассмотрим на числовом примере применение приведенных выше формул.
Пример. Измерялся микрометром диаметр d стержня (систематическая ошибка измерения равна 0.005 мм ). Результаты измерений заносим во вторую графу таблицы, находим и в третью графу этой таблицы записываем разности , а в четвертую – их квадраты (таблица 4).
Таблица 4
| n | d, мм | ||
| 1 | 4.02 | + 0.01 | 0.0001 |
| 2 | 3.98 | — 0.03 | 0.0009 |
| 3 | 3.97 | — 0.04 | 0.0016 |
| 4 | 4.01 | + 0 .00 | 0.0000 |
| 5 | 4.05 | + 0.04 | 0.0016 |
| 6 | 4.03 | + 0.02 | 0.0004 |
| Σ | 24.06 | – | 0.0046 |
Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для шести измерений найдем t = 2.57. Абсолютная ошибка найдется по формуле (10).
Источник
Обработка результатов измерений.
Для получения оценки измеряемой величины, максимально близкой к истинному значению, необходимо по экспериментальным данным найти оценку математического ожидания отдельных результатов наблюдений, оценить систематическую погрешность и исключить ее из оценки математического ожидания.
Точность оценки математического ожидания ряда наблюдений зависит от количества выполненных измерений и от дисперсии случайной составляющей погрешности. Поэтому по экспериментальным данным оценивается не только математическое ожидание, но и дисперсия.
Оценкой математического ожидания случайной величины по результатам отдельных наблюдений х1, x2, . хп этой величины является среднее арифметическое:
где п — число наблюдений величины х.
Дисперсия суммы (разности) случайных величин определяется выражением
где rxy, rxz, rxy, . — коэффициенты корреляции соответствующих пар ху, xz, yz . случайных величин, входящих в рассматриваемую сумму (разность) этих величин.
При ограниченном числе измерений, результатявляется случайной величиной, основные характеристики которой (математическое ожидание и дисперсия) получают на основании
Оценку дисперсии случайной величины х по результатам отдельных наблюдений х1, х2,. хп этой величины находят по формуле
Оценка среднего квадратического отклонения случайной величины х равна
При неограниченно большом числе наблюдений оценки S 2 [х] и S [х] стремятся, соответственно, к s 2 [х] и s[х] При ограниченном п эти оценки являются случайными величинами.
Оценка случайной составляющей погрешности результатов измерений осуществлялась в соответствии с приведенными выше правилами.
Для обнаружения систематической погрешности, природа которой неизвестна, необходима постановка специального эксперимента для измерения искомой величины того же размера с использованием более точных методов и средств измерений. Сравнение результатов измерения х1 и х2, полученных в первом и во втором (более точном) эксперименте, позволяет оценить систематическую погрешность первого эксперимента. Если результат измерения х1 содержит только постоянную систематическую погрешность, то она может быть оценена по однократным результатам измерения х1 и x2 как . Погрешность этой оценки определяется погрешностью результата измерения х2.
Результат измерения х1 кроме систематической погрешности содержит и случайную составляющую погрешности, поэтому — случайная величина, математическим ожиданием которой является систематическая погрешность
Погрешность этой оценки определяется погрешностью оценок математических ожиданий результатов измерения в экспериментах.
Если причины возникновения систематической погрешности известны, то в первую очередь необходимо постараться исключить или уменьшить влияние этих причин. При невозможности устранения источников погрешности необходимо на основании теоретического анализа или путем постановки специальных экспериментов получить количественные оценки систематических погрешностей. Например, путем предварительной поверки используемых средств измерений выявляется систематическая погрешность этих средств при разных значениях измеряемой величины. Анализируя влияние внешних факторов, можно составить таблицы или графики зависимости систематической погрешности от внешних факторов. В этом случае для введения поправки на систематическую погрешность необходимо в процессе измерения контролировать значение соответствующего влияющего внешнего фактора. Существуют и другие приемы, позволяющие путем постановки специальных экспериментов либо учесть, либо исключить систематическую погрешность, не производя ее количественной оценки.
Прямые измерения. Предположим, что при многократном измерении интересующей нас величины получены п отдельных результатов наблюдений. Исключив систематическую погрешность из каждого наблюдения, получаем исправленный ряд значений х1, x2, . хп, математическим ожиданием которого является истинное значение измеряемой величины . За действительное значение измеряемой величины принимаем среднее арифметическое, определяемое по формуле (1), в которой xi — исправленное значение ряда наблюдений.
Для контроля правильности подсчета использовано свойство — алгебраическая сумма остаточных погрешностей равна нулю, т. е. где ri = xi — х — остаточные погрешности — отклонения между отдельными значениями наблюдений и средним арифметическим
Когда дисперсия s 2 полученного ряда наблюдений известна из предыдущих экспериментов или из технической документации на применяемые средства измерений, тогда дисперсия среднего арифметического на основании выражения (4.2.2) , где s 2 [х] — дисперсия исправленного ряда наблюдений; s 2 [ ] — дисперсия действительного значения (среднего арифметического) измеряемой величины этого ряда.
Если дисперсия ряда неизвестна, то на основании соотношения (3) ее оценивают по формуле
где ri – остаточные погрешности исправленного ряда наблюдений. В этом случае за оценку дисперсии действительного значения измеряемой величины принимают
Для нахождения доверительного интервала погрешности измерения необходимо найти закон распределения для величины
при известной дисперсии или для величины
при неизвестной дисперсии.
Так как в выражение (5) входит только одна случайная величина , то вид закона распределения величины, определяемой этим выражением, определяется видом закона распределения величины х. При нормальном законе распределения отдельных результатов закон распределения тоже нормальный. Таким образом, при нормальном законе распределения случайная величина z, определяемая выражением (5), имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием равным нулю и дисперсией равной единице.
Выражение (6) содержит две случайные величины и S [ ], поэтому закон распределения величины, определяемой этим выражением, отличается от закона распределения величины, определяемой выражением (5). При нормальном законе распределения случайная величина t, определяемая выражением (6), имеет закон распределения Стьюдента. Для таких функций zpи tp(f) существуют таблицы, по которым можно найти значения, определяющие с доверительной вероятностью P границы доверительного интервала. Число f — число степеней свободы и в данном случае .
Чем больше число измерений в ряду наблюдений, тем ближе оценка S [х] совпадает с действительным средним отклонением s[х]. Следовательно, с увеличением числа наблюдений закон распределения Стьюдента приближается к нормальному закону. Практически при .
Зная zр или tp (f), на основании выражений (5) и (6) с учетом (2) и (4), результат измерения с доверительной вероятностью Р можно записать в виде
при известной дисперсии или в виде
при неизвестной дисперсии.
Если закон распределения отдельных результатов измерения xi отличается от нормального, то найти закон распределения случайных величин, определяемых выражениями (5) и (6) затруднительно. В этом случае пользуются следующей рекомендацией: закон распределения с увеличением числа наблюдений стремится к нормальному закону. Практически при n > 5 можно считать, что закон распределения х близок к нормальному закону и при известном s[х] для приближенной оценки доверительного интервала можно пользоваться выражением (7). Если дисперсия s 2 [х] неизвестна, то необходимо увеличить число наблюдений n, так чтобы оценка S [х] была близка к s[х]. Практически это условие выполняется при n > 30. В этом случае для приближенной оценки доверительного интервала можно также пользоваться выражением (7).
Если ряд наблюдений х1, х2, . хп содержит результат xk, существенно отличающийся от остальных, то необходимо проверить, не является ли он промахом. При нормальном законе распределения отдельных результатов измерения xi обнаружение промаха сводится к проверке неравенства
при известной дисперсии или
при неизвестной дисперсии.
В этих выражениях Р — вероятность, с которой обнаруживается промах; — граница доверительного интервала нормально распределенной величины z при доверительной вероятности Р n ; tp(n) — граница доверительного интервала случайной величины t, имеющей специальное распределение (таблицы этого распределения, по которым можно определитьV(n), имеются в литературе по теории вероятностей и математической статистике), зависящее от n, при доверительной вероятности Р. Если неравенства (14-15) и (14-16) не; выполняются, то xk следует считать промахом. Его необходимо исключить из ряда наблюдений, и для оценки результата измерения необходимо заново пересчитать и .
На практике часто встречается однократное измерение, когда измеряемая величина оценивается по результату одного наблюдения. Этот случай можно рассматривать как частный случай многократных измерений (при n=1). Тогда выражения (14-13) и 14-14 примут вид:
Здесь за действительное значение х измеряемой величины следует принять результат однократного измерения, из которого исключена систематическая погрешность. Нужно иметь в виду, что по однократному измерению нельзя определить s (или S). Поэтому для того чтобы можно было записать результат измерения в виде (14-17), среднее квадратическое отклонение s нужно знать на основании предварительных измерений или из технической документации на применяемое средство измерений. Если вместо σ известна его оценка S, найденная по некоторому числу предварительных измерений, то для определения tp(f) в выражении (14-18) число степеней свободы f нужно взять равным этому числу предварительных измерений минус единица.
Сравнение выражений (14-13), (14-14) и (14-17), (14-18) показывает, что увеличение числа наблюдений позволяет получить более точную оценку истинного значения измеряемой величины. Однако следует иметь в виду, что число наблюдений п не может быть сколь угодно большим, так как в течение длительного времени, необходимого для получения большого числа результатов наблюдений, нельзя гарантировать неизменность не только условий проведения эксперимента, но и размера самой измеряемой величины. Практически п следует ограничивать таким значением, при котором случайная составляющая погрешности результата измерения будет существенно меньше не исключенных остатков систематических погрешностей отдельных результатов наблюдений.
Косвенные измерения.Допустим, что измеряемая величина у является функцией аргументов а, b, с, . измеряемых прямыми измерениями, т.е. у = F(а, b, с, . ). Проведя обработку ряда наблюдений для каждого аргумента методом, изложенным для прямых измерений, можно найти действительные значения аргументов
Источник
Примеры решения типовых задач
Пример 1.При проведении измерительного эксперимента получены следующие значения величины: 11,65; 11,41; 11,57; 11,60; 11,50; 11,55; 11,58; 11,58; 11,61; 11,63. Требуется проанализировать полученные результаты наблюдений в целях выявления грубых погрешностей, используя критерий Диксона.
1. Располагаем результаты наблюдений в вариационный возрастающий ряд:
2. Записываем используемую для расчета формулу критерия Диксона:
3. Подставляем в формулу данные нашего эксперимента и рассчитываем Кд:
4. Зададимся значением q=0,10 (десятипроцентным уровнем значимости).
5. Используя табличные данные, выявим критическую область для рассчитанного критерия Кд.
Согласно таблице 2 приложения 3 при n=10 и q=0,15, zдикс =0,35.
Ответ.Полученный ряд результатов наблюдений не имеет в своем составе грубых погрешностей даже при q=0,1. Дальнейшей обработке будет подвергаться весь массив данных.
Пример 2. В процессе контроля были получены следующие результаты измерительных наблюдений за одним из показателей качества: 9,47; 9,49; 9,40; 9,61; 9,39; 9,41; 9,43; 9,49; 9,46; 9,42. Используя критерий Романовского выявить наличие промахов.
1. Располагаем результаты в вариационный возрастающий ряд: 9,39<9,40<9,41<9,42<9,43<9,46<9,47<9,49<9,49<9,61.
2. Выявляем результат, вызывающий сомнение:
Результат 9,61 вызывает сомнение, так как резко отличается от всех остальных (хi=9,61).
3. Запишем основную расчетную формулу:
При расчете результат хi=9,61 все принимаем во внимание.
4. Вычисляем среднее арифметическое без учета сомнительного варианта
5. Находим среднеквадратическое отклонение среднего арифметического результата наблюдения по формуле
| Разность хi – | Квадрат разности | |
| х1— =9,39-9,44=-0,05 | 0,0025 | 0,0118 |
| х2— =9,40-9,44=-0,04 | 0,0016 | |
| х3— =9,41-9,44=-0,03 | 0,0009 | |
| х4— =9,42-9,44=-0,02 | 0,0004 | |
| х5— =9,43-9,44=-0,01 | 0,0001 | |
| х6— =9,46-9,44=0,02 | 0,0004 | |
| х7— =9,47-9,44=0,03 | 0,0009 | |
| х8— =9,49-9,44=0,05 | 0,0025 | |
| х9— =9,49-9,44=0,05 | 0,0025 |
Определяем число степеней свободы f=n-1=9-1=8
Рассчитываем стандартное отклонение:
6. Подставляем полученные расчетные данные в основную формулу (14):
7. Находим табличное значение критерия Романовского для n =10 и принятого уровня значимости q=0,1: =2,29.
8. Вывод: рассчитанное значение .
Ответ:Так как сомнительный результат наблюдения равный 9,61 является грубой погрешностью и в дальнейшей обработке полученных данных не используется.
Пример 3. Некоторую физическую величину измерили двумя независимыми способами. По первому способу получили результаты:38.20,38.00,37.66; по второму – 37.70,37.65,37.55. Значимо ли различаются результаты данных измерений?
1. По формуле (6) рассчитаем среднее арифметическое значение для каждого способа:
2. Рассчитаем дисперсии по формуле (8):
3. Проведем сравнение точности обоих методов, используя F-распределение:
Полученные значения Fэксп, сопоставляем с табличным (таблица 6, приложения 3) значением F распределения при р=0.95 и числах степеней свободы f 1 =2 и f 2 =2.
Так как F табл= 19.00> F эксп=12.78, то расхождение между дисперсиями незначимо и, следовательно, способ измерения физической величины одинаковой точности.
С помощью t-критерия оцениваем расхождение между . Среднее взвешенное двух дисперсий и t-критерий рассчитываем по формулам
Сопоставляем полученное значение t эксп с табличными t 0.95;4 = 2,776 (при р= 0,95 и f = 3+3-2=4). Так как t эксп =1.96 < t 0.95;4 = 2,776, то различие между незначимо. Следовательно, все результаты обоих измерений отражают истинное значение физической величины.
Поэтому данные измерения могут быть представлены в виде
где – среднее арифметическое из всех n1+n2 результатов:
4. Вычисляем среднее значение измерений (среднее арифметическое) по формуле (1):
Определим среднее квадратическое отклонение S по формуле (9):
Рассчитаем доверительные границы действительного значения результата измерения, исходя из данных наблюдений, полученных обоими способами, по формуле (15). Для расчета необходимое значение t0,95;5 находим по таблице (см. приложение 3, табл. 1)
Ответ. Результат измерений физической величины, рассчитанный по данным наблюдений полученных двумя способами, записываем следующим образом: 37.79 ±0.26.
Пример 4. При измерении некоторой величины были получены следующие результаты: 1.31, 1.45,1.42,1.32, 1.30. Опорное значение этой величины Хоп = 1,47.
Определить стандартное отклонение S, точность измерений 0.95 ( ,%) и сделать вывод о наличии систематической ошибки в использовании данного метода измерения.
1. По формуле (6) вычисляем среднее значение измерений (среднее арифметическое):
2.По формуле (9) вычисляем стандартное отклонение S:
3.По формуле (15) рассчитываем доверительные границы случайной составляющей погрешности результата измерения. Значение коэффициента Стьюдента находим из таблицы (см. приложение 3, табл.1).
4. Покажем доверительный интервал действительного значения величины:
5. Точность метода обычно выражают в форме относительной погрешности, которая рассчитывается по формуле (22)
Ответ. Данный метод измерения НКПРП имеет систематическую погрешность, так как опорное значение Хоп = 1,47 не попадает в доверительный интервал 1,27 1,45. Точность измерения является очень низкой для данного метода.
Пример 5. Определить, существует ли значимое различие между выборочной средней величиной при определении НКПРП пыли обращающейся в производстве, если при отборе проб следующие результаты: 2.10, 2.12, 2.13, 2.15, 2.15 и средней генеральной совокупностью (для n=80) m=2.15 г/м 3 .
1.Среднее арифметическое значение вычисляем по формуле (6):
2.Стандартное отклонение отдельного определения вычисляем по формуле (9):
3.Из формулы (15) находим значение величины t:
Из таблицы значений коэффициента Стьюдента (смотри таблицу 1 приложения 3) для f=4 и p=0,95, tр,f=2,78, что больше рассчитанного из формулы (15) 2,11.
Ответ. Следовательно, средняя величина не отличается значимо от средней m генеральной совокупности.
Пример 6. При определении коэффициента теплопроводности газобетона были получены результаты: 8.0×10 –4 Вт/м о С и 8.4×10 –4 Вт/м о С. Чему равна точность изменения (eр и D) коэффициента теплопроводности? Сколько параллельных измерений необходимо провести для достижения относительной точности 5%? Оправдано ли будет применение этого способа измерения для достижения такой точности?
1. По формуле (6) находим среднее арифметическое значение:
2.Стандартное отклонение единичного результата вычисляем по формуле (9):
По таблице 1 приложения 3 находим для р=0.95 и f=2-1=1 tр,f=12.7 и по формуле (15) вычисляем точность метода:
3. Определяем относительную точность измерения по формуле (22):
Если необходимо получить D=5%, то
Если принять n=4, то t=2.90. Исходя из данных таблице 1 (см. приложение 3) для р=0.95 и f=4–1=3 tр,f=3.18, что не обеспечивает точности 5%. Если принять n=5, то t=3.24. По таблице 1 (см. приложение 3) для р=0.95 и f=5–1=4 tр,f=2.78, что меньше рассчитанного t=3.24. Следовательно, при n=5 величина t=3.24 дает большую вероятность, чем 0.95.
Ответ. Для достижения относительной погрешности 5% необходимо провести 5 измерений. Так как n<8 (n=5), то можно считать, что данный метод вполне оправдан для достижения точности 5%.
Пример построения гистограммы и проверка гипотезы о распределении случайной величины
Даны 98 независимых равноточных измерений некоторой физической величины:
120.13 120.76 119.39 118.88 121.11 121.66 119.58
118.49 119.00 119.18 120.90 120.53 121.92 119.76
121.19 121.35 120.16 119.31 121.25 119.96 120.84
117.17 120.82 119.59 120.57 119.67 119.92 120.51
121.76 121.31 119.61 119.62 120.59 119.00 119.85
119.95 119.43 121.07 121.84 122.21 120.20 119.56
119.37 119.34 120.89 120.06 119.95 121.47 119.65
119.90 119.75 120.50 119.99 119.54 120.87 120.25
119.55 119.01 120.03 120.71 120.10 118.73 120.90
120.31 119.83 121.46 122.21 118.40 119.36 120.86
119.72 119.22 119.91 120.62 120.63 119.56 120.07
121.68 120.80 120.16 119.92 121.03 120.17 119.43
119.85 120.52 120.45 119.57 121.11 120.06 120.02
121.64 119.91 119.42 119.31 121.39 120.06 119.55
1. При уровне значимости 0.05 исследовать предложенную выборку на однородность. Исключить все грубые ошибки с вероятностью 1–q. Найти среднее значение и эмпирический стандарт S полученной однородной выборки.
2. Сгруппировать однородную выборку по интервалам, построить гистограмму относительных частот, сформировать гипотезу о виде распределения случайной величины Х.
3. Проверить гистограмму о распределении величины Х по критерию согласия Пирсона, установить вероятность р, с которой высказанная гипотеза не согласуется с истинным распределением. Если р<0.50, то данную гипотезу не отвергать, остановиться на данном виде распределения и перейти к пункту 4. Если р>0.50, то выбрать другой закон распределения и снова применить к нему критерий согласия Пирсона. Если при исследовании гипотез о трех различных распределениях (нормальном, логарифмическом и распределении Вейбулла) вероятность несогласования р>0.50, то выбрать лучшее по вероятности распределения.
4. Найти доверительный интервал для математического ожидания M(X)=m и среднего квадратичного отклонения s(X)=s, если задан уровень значимости q, полученной в пункте 3 при выборе распределения величины Х.
1. Исследуем данную выборку на однородность. Для этого все результаты измерений расположим в порядке возрастания. Результат запишем в виде табл. 1.
По условию требуется проверить, не содержит ли данная выборка грубых ошибок на уровне значимости 0.05, то есть из выборки следует исключить те хi, которые с вероятностью 1–q=0.95.
Найдем критическое значение числа
с которым будем сравнивать максимальное отклонение t(xi). Нанесем на ось все значения из табл. 6.1.
Табл. 6.1. Экспериментальные значения величины Х
| I | xi | i | xi | i | xi | i | xi |
| 117.17 118.40 118.49 118.73 118.88 119.00 119.00 119.01 119.18 119.22 119.31 119.34 119.35 119.36 119.37 119.37 119.39 119.42 119.43 119.43 119.54 119.55 119.55 119.56 119.56 | 119.57 119.58 119.59 119.61 119.62 119.65 119.72 119.75 119.76 119.83 119.85 119.85 119.90 119.91 119.91 119.92 119.92 119.95 119.95 119.96 119.99 120.02 120.03 120.06 120.06 | 120.06 120.07 120.10 120.13 120.16 120.16 120.17 120.20 120.25 120.31 120.45 120.50 120.51 120.52 120.53 120.57 120.59 120.62 120.63 120.71 120.76 120.80 120.82 120.84 120.86 | 120.87 120.89 120.90 120.90 121.03 121.07 121.11 121.11 121.19 121.25 121.31 121.35 121.39 121.46 121.47 121.64 121.66 121.68 121.76 121.84 121.92 122.21 122.21 |
Рис. 6.1. Распределение случайной величины
Как можно видеть из рис. 6.1, наиболее густо точки расположены в интервале [119, 122]. Значение x1=117.17 резко отличается от интервала [119, 122], что может служить косвенным подтверждением того, что величина x1 является грубой ошибкой. Остальные значения xi не вызывают особых подозрений, поэтому мы исследуем дополнительно крайние точки x1, x2, x97 и x98.
Временно отбросив указанные значения, подсчитаем среднее арифметическое значение и эмпирический стандарт:
Источник
Погрешности измерений, представление результатов эксперимента
Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.
Погрешность теории (модели)
Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.
Погрешность оператора
Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.
Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.
В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:
- определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
- определение объема с помощью мензурки.
Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:
 | Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: \begin Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,00\pm 0,25)\ \text <см>$$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac<0,25><4,00>\cdot 100\text<%>=6,25\text<%>\approx 6,3\text <%>$$ |
 | Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: \begin Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,15\pm 0,05)\ \text <см>$$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac<0,05><4,15>\cdot 100\text<%>\approx 1,2\text <%>$$ |
Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.
п.5. Абсолютная погрешность серии измерений
Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).
Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.
Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.
Составим расчетную таблицу:
| № опыта | 1 | 2 | 3 | Сумма |
| Масса, г | 99,8 | 101,2 | 100,3 | 301,3 |
| Абсолютное отклонение, г | 0,6 | 0,8 | 0,1 | 1,5 |
Сначала находим среднее значение всех измерений: \begin
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности \(m_0\) и измерения. \begin
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: \begin
п.6. Представление результатов эксперимента
Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.
- абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей
- абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей
- относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей
- относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей
- относительная погрешность квадрата \(a^2\) равна удвоенной относительной погрешности
- относительная погрешность куба \(a^3\) равна утроенной относительной погрешности
- относительная погрешность произвольной натуральной степени \(a^n\) равна
Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.
п.7. Задачи
Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?
Составим таблицу для расчета цены деления:
| № мензурки | a, мл | b, мл | n | \(\triangle=\frac |
| 1 | 20 | 40 | 4 | \(\frac<40-20><4+1>=4\) |
| 2 | 100 | 200 | 4 | \(\frac<200-100><4+1>=20\) |
| 3 | 15 | 30 | 4 | \(\frac<30-15><4+1>=3\) |
| 4 | 200 | 400 | 4 | \(\frac<400-200><4+1>=40\) |
Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):
| № мензурки | Объем \(V_0\), мл | Абсолютная погрешность \(\triangle V=\frac<\triangle><2>\), мл | Относительная погрешность \(\delta_V=\frac<\triangle V> |
| 1 | 68 | 2 | 3,0% |
| 2 | 280 | 10 | 3,6% |
| 3 | 27 | 1,5 | 5,6% |
| 4 | 480 | 20 | 4,2% |
Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.
Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка
Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0\pm 0,1)\ \text<м>,\ \ x_2=(4,0\pm 0,03)\ \text <м>$$ Какое из этих измерений точней и почему?
Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: \begin
Ответ: \(\delta_2\lt \delta_1\), второе измерение точней.
Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ \triangle v_1=\frac<10><2>=5\ (\text<км/ч>),\ \ \triangle v_2=\frac<1><2>=0,5\ (\text<км/ч>) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54\pm 5)\ \text<км/ч>,\ \ v_2=(72\pm 0,5)\ \text <км/ч>$$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_<10>+v_<20>,\ \ v_0=54+72=125\ \text <км/ч>$$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ \triangle v=\triangle v_1+\triangle v_2,\ \ \triangle v=5+0,5=5,5\ \text <км/ч>$$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0\pm 5,5)\ \text <км/ч>$$ Относительная погрешность: $$ \delta_v=\frac<5,5><126,0>\cdot 100\text<%>\approx 4,4\text <%>$$ Ответ: \(v=(126,0\pm 5,5)\ \text<км/ч>,\ \ \delta_v\approx 4,4\text<%>\)
Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Инструментальная погрешность линейки \(d=\frac<0,1><2>=0,05\ \text<см>\)
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20\pm 0,05)\ \text<см>,\ \ b=(60,10\pm 0,05)\ \text <см>$$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): \begin
Источник