Названия компонентов и результатов арифметического действия

Арифметические действия.

Сложение, вычитание, умножение и деление. Знаки действий. Названия компонентов и результатов арифметических действий. Таблица сложения. Таблица умножения. Взаимосвязь арифметических действий (сложения и вычитания, сложения и умножения, умножения и деления). Нахождение неизвестного компонента арифметического действия. Деление с остатком. Свойства сложения, вычитания и умножения: переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. Числовые выражения. Порядок выполнения действий в числовых выражениях со скобками и без скобок. Нахождение значения числового выражения. Использование свойств арифметических действий и правил о порядке выполнения действий в числовых выражениях. Алгоритмы письменного сложения и вычитания многозначных чисел, умножения и деления многозначных чисел на однозначное, двузначное и трёхзначное число. Способы проверки правильности вычислений (обратные действия, взаимосвязь компонентов и результатов действий, прикидка результата, проверка вычислений на калькуляторе).

Элементы алгебраической пропедевтики. Выражения с одной переменной вида a ± 28, 8 ∙ b, c : 2; с двумя переменными вида: a + b, а – b, a ∙ b, c : d (d ≠ 0), вычисление их значений при заданных значениях входящих в них букв. Использование буквенных выражений при формировании обобщений, при рассмотрении умножения 1 и 0 (1 ∙ а = а, 0 ∙ с= 0 и др.). Уравнение. Решение уравнений (подбором значения неизвестного, на основе соотношений между целым и частью, на основе взаимосвязей между компонентами и результатами арифметических действий).

Работа с текстовыми задачами

Задача. Структура задачи. Решение текстовых задач арифметическим способом. Планирование хода решения задач.

Текстовые задачи, раскрывающие смысл арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление). Текстовые задачи, содержащие отношения «больше на (в) . », «меньше на (в) …». Текстовые задачи, содержащие зависимости, характеризующие процесс движения (скорость, время, пройденный путь), расчёт стоимости товара (цена, количество, общая стоимость товара), расход материала при изготовлении предметов (расход на один предмет, количество предметов, общий расход) и др. Задачи на определение начала, конца и продолжительности события. Задачи на нахождение доли целого и целого по его доле.

Решение задач разными способами.

Представление текста задачи в виде рисунка, схематического рисунка, схематического чертежа, краткой записи, в таблице, на диаграмме.

Пространственные отношения. Геометрические фигуры

Взаимное расположение предметов в пространстве и на плоскости (выше — ниже, слева — справа, за — перед, между, вверху — внизу, ближе — дальше и др.).

Распознавание и изображение геометрических фигур: точка, линия (прямая, кривая), отрезок, луч, угол, ломаная; многоугольник (треугольник, четырёхугольник, прямоугольник, квадрат, пятиугольник и т. д.).

Свойства сторон прямоугольника.

Виды треугольников по углам: прямоугольный, тупоугольный, остроугольный. Виды треугольников по соотношению длин сторон: разносторонний, равнобедренный (равносторонний).

Окружность (круг). Центр, радиус окружности (круга).

Использование чертёжных инструментов (линейка, угольник, циркуль) для выполнения построений.

Геометрические формы в окружающем мире. Распознавание и называние геометрических тел: куб, пирамида, шар.

Геометрические величины

Геометрические величины и их измерение. Длина. Единицы длины (миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр). Соотношения между единицами длины. Перевод одних единиц длины в другие. Измерение длины отрезка и построение отрезка заданной длины. Периметр. Вычисление периметра многоугольника, в том числе периметра прямоугольника (квадрата).

Площадь. Площадь геометрической фигуры. Единицы площади (квадратный миллиметр, квадратный сантиметр, квадратный дециметр, квадратный метр, квадратный километр). Точное и приближённое (с помощью палетки) измерение площади геометрической фигуры. Вычисление площади прямоугольника (квадрата).

Работа с информацией

Сбор и представление информации, связанной со счётом (пересчётом), измерением величин; анализ и представление информации в разных формах: таблицы, столбчатой диаграммы. Чтение и заполнение таблиц, чтение и построение столбчатых диаграмм.

Интерпретация данных таблицы и столбчатой диаграммы.

Составление конечной последовательности (цепочки) предметов, чисел, числовых выражений, геометрических фигур и др. по заданному правилу. Составление, запись и выполнение простого алгоритма (плана) поиска информации.

Построение простейших логических высказываний с помощью логических связок и слов («верно/неверно, что …», «если …, то …», «все», «каждый» и др.).

Ш. Тематическое планирование с указанием количества часов, отводимых на освоение каждой темы.

№	Раздел	Количество часов по разделу	Класс (ч.)
1кл.	2кл.	3кл.	4кл.
1.	Множества и отношения	—	—	—
2.	Числа и величины
3.	Арифметические действия. Величины.
4.	Работа с текстовыми задачами
5.	Пространственные отношения. Геометрические фигуры
Геометрические величины
7.	Работа с информацией	—	—
8.	Резерв	—	—	—	—	—
Итого:

Ш. Тематическое планирование с указанием количества часов, отводимых на освоение каждой темы.

№ п/п	Разделы, темы	Количество часов по разделу	Класс(ч.)
1кл	2кл	3кл	4кл
1.	Раздел I. Множества и отношения	5	5	—	—	—
2.	Раздел II. Элементы арифметики	386	123	94	103	66
Арифметические действия. Величины.
Свойства арифметических действий
Таблица сложения и вычитания в пределах 20
Сложение и вычитание в пределах 100
Таблица умножения однозначных чисел
Выражения
Тысяча
Умножение и деление на однозначное число в пределах 1000
Умножение и деление на двузначное число в пределах 1000
Множество целых неотрицательных чисел
Арифметические действия с многозначными числами
3.	Раздел III. Величины	65	—	20	15	30
4.	Раздел IV. Геометрические понятия	54	—	22	15	17
5.	Раздел V. Осевая симметрия	—	—	—	—	—
6.	Раздел VI. Логические понятия	9	—	—	3	6
7.	Раздел VII. Алгебраическая пропедевтика	17	—	—	—	17
Общее количество часов :

Ш. Тематическое планирование с указанием количества часов, отводимых на освоение каждой темы.

Источник

Элементы теоретических знаний

IV. Взаимосвязь между результатами и компонентами арифметических действий.

V. Изменение результата в зависимости от изменения одного из компонентов.

VI. Свойства арифметических действий.

Дадим характеристику материала каждой группы.

I. Нумерация целых неотрицательных чисел — материал этой группы рассматривается отдельно.

II. Конкретный смысл арифметических действий.В курсе математики начальных классов находит отражение теоретико-множественный подход к истолкованию сложения и вычитания целых неотрицательных чисел, в соответствии с операцией объединения попарно- пересекающихся конечных множеств. Возможны различные подходы к введению материала:

1 подход — конкретный смысл усваивается в процессе решения простых задач;

2 подход — выполнение учащимися предметных действий и их интерпретация в виде графических и символических моделей.

Основная цель — осознание предметного смысла числовых выражений и равенства. Деятельность учащихся сводится сначала к переводу предметных действий на языке математики, потом к установлению соответствия между различными моделями (вербальной, предметной, графической, символической). Затем числовые равенства интерпретируются на числовом луче.

Теоретико-множественная трактовка определения действий умножения лежит в основе разъяснения его смысла. Она легко переводится на язык предметных действий и позволяет для усвоения нового действия активно использовать ранее изученный материал.

Для осознания необходимости введения нового действия можно использовать различные ситуации. Например, предлагается подсчитать количество кафельных плиток для выкладки стены на кухне (стена имеет форму прямоугольника, разбитого на квадраты). Способ поединичного подсчета клеток — трудоемкий, нерациональный. Достаточно подсчитать количество квадратов в 1 ряду и повторить это число слагаемым столько раз, сколько рядов. Делается запись, выясняется, что обозначает каждое число.

Для усвоения смысла умножения используются приемы сравнения, выбора, преобразования, конструирования.

Можно предложить следующие виды заданий:

а) на соотнесение рисунка и математической записи:

б) на выбор рисунка, соответствующего данной записи 2´6

в) на преобразование рисунка с математической записью:

-Какие изменения нужно внести в рисунок, чтобы они соответствовали записи 2´6?

г) на выбор записи, соответствующей рисунку;

д) на сравнение выражений на основе определения умножения (не вычисляя): 12´9 и 12´11;

е) на замену умножения суммой и суммы умножением:

31+31+31+9; 0х5 =0+0+0+0+0+0+0;

ж) на сравнение двух произведений, значение одного из которых известно: 12´3=36; 12´4=?

Основой формирования представления о действии деления служит теоретико-множественный подход к трактовке частного, суть которого сводится к разбиению конечных множеств на равночисленные подмножества, не имеющие общих элементов. Выбор этого подхода обусловлен тем, что он опирается на жизненный опыт при введении новой терминологии и математической записи.

1 подход в изучении конкретного смысла каждого арифметического действия следует рассмотреть в статьях Бантовой М.А., Микулиной, Шадриной И.В. Независимо от того, каким методическим подходом вы руководствуетесь при изучении конкретного смысла арифметического действия, следует обосновать необходимость его введения, название действия, название компонентов и результатов каждого действия, научить правильно записывать и читать, то есть познакомить с необходимой символикой и терминологией.

III. Термины и символы:

1) термин: прибавить, вычесть, умножить, разделить, названия действий, результатов и компонентов каждого арифметического действия, увеличить, уменьшить, выражение, равенство, неравенство, уравнение и т.д.;

2) символы: цифры, знаки плюс (+), минус (-), умножить (´), разделить (:), скобки, буквы латинского алфавита, знаки отношения «больше», «меньше», «равно».

Методика ознакомления с терминологией и символикой заключается в том, что эти знания даются в готовом виде, без доказательств: «договорились в математике считать…».

IV. В начальных классах раскрывается взаимосвязь между результатами и компонентами каждого арифметического действия (сложения и вычитания, умножение и деление). Разъяснение связи можно начать, оперируя предметными действиями. Так, для введения связи между результатами и компонентами действия сложения можно использовать кружки разных цветов (например, 4 красных и 3 зеленых). Проводится практическая работа, в ходе которой с помощью кружков иллюстрируется сумма чисел 4 и 3, затем вычесть из этой суммы сначала первое слагаемое (4) и установить, что при этом получится второе слагаемое (3), а затем вычесть из суммы (7) второе слагаемое (3) и установить, что при этом получится первое слагаемое (4).

Решение записывается в столбик (без наименования):

Аналогично рассматриваются еще несколько случаев сложения. Учитель помогает заметить, как получены второй и третий примеры из первого. Для этого первый пример надо прочитать с названием компонентов и результата действия сложения; примеры на вычитание читать, не изменяя названия компонентов. Учащиеся подводятся к выводам: двум частным и одному общему:

1) если из суммы вычесть первое слагаемое, то получим второе слагаемое;

2) если из суммы вычесть второе слагаемое, то получим первое слагаемое;

3) если из суммы вычесть известное слагаемое, то получим неизвестное.

Затем взаимосвязь разъясняется при рассмотрении специально подобранных задач, решение которых сопровождается использованием средств наглядности. Аналогично вводится взаимосвязь между результатами и компонентами действий вычитания, умножения и деления. Возможны и другие методические подходы к изучению этого вопроса.

V. Изменение результатов в зависимости от изменения одного из компонентов рассматривается после усвоения названия компонентов и результатов действий, взаимосвязи между ними. Проводится практическая работа по выявлению и наблюдению особенностей, которые происходят при изменении одного из компонентов, т.е. дети наблюдают, как будет изменяться результат любого арифметического действия в зависимости от изменения каждого из компонентов. Работа может проводиться в два этапа:

I этап — усвоение характера изменений;

II этап- количественная характеристика изменений и обобщение формулировки.

Работа на I этапе проходит в несколько ступеней:

1) прослеживаются изменения с опорой на наглядный образ (действия с множествами);

2) прослеживаются изменения с опорой на сравнение числовых выражений, вычисляя их значения и делая соответствующие выводы;

3) знания об изменении результатов действий сложения и вычитания применяются при выполнении различных упражнений:

а) теми учащимися, которые усвоили выводы (остальные на основе вычислений выполняли задания);

б) всеми учащимися.

Работа может быть проведена по таблицам, в которых даны названия компонентов и результатов и их числовые значения.

Формулируется вывод: если слагаемое уменьшается, а второе остается постоянным, то сумма уменьшается. Если в таблице первое слагаемое будет увеличиваться, то вывод следующий: если первое слагаемое увеличивается, а второе остается постоянным, то сумма увеличивается. Аналогично формулируются два вывода, когда изменяется второе слагаемое, а первое остается постоянным.

Таким образом, по каждому действию формулируются 4 вывода:

— изменяется 1 компонент (увеличивается или уменьшается), 2 — постоянный (2 вывода);

— изменяется 2 компонент, 1 постоянный (2 вывода).

Более сложной является количественная характеристика, особенно для действий вычитания и деления, т.к. наблюдается обратно пропорциональная зависимость.

1) если уменьшаемое постоянно, а вычитаемое увеличивается на несколько единиц (на 2 единицы), то разность будет уменьшаться на столько же единиц (на 2 единицы);

2) если делимое не изменяется, а делитель увеличивается в несколько раз (в 2 раза), то частное уменьшается во столько же раз (в 2 раза).

VI. В начальных классах учащиеся знакомятся с большой группой свойств арифметических действий. Среди них можно выделить несколько групп. Для операций сложения и умножения можно выделить следующие:

1. Переместительный (коммутативный) закон сложения и умножения

От перестановки не меняется

Или в виде символической формы: а+в=в+а; а´в=в´а.

В начальных классах он вводится как переместительное свойство умножения и сложения.

3. Сочетательный (ассоциативный) закон:

не изменяется, если какую-либо группу

И этот закон легче запоминать в символической форме:

В начальной школе сочетательный закон сложения вводится в виде свойства прибавления числа к сумме и суммы к числу; закон умножения в виде свойства умножения числа на произведение и произведения на число.

Для сложения и умножения справедлив и распределительный (дистрибутивный) закон, связывающий эти операции следующим образом: произведение суммы на число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число: (а+в)´с=а´с+в´с. В начальных классах он вводится как свойство умножения суммы на число.

Также в начальном курсе математики вводятся в качестве свойств:

а) вычитание числа из суммы;

б) вычитание суммы из числа;

в) деление суммы на число;

г) деление числа на произведение.

Знакомство с каждым свойством проходит по определенному плану:

1. Свойство иллюстрируется наглядно, раскрывается его суть.

2. Рассматриваются 3(2) способа выполнения операций.

3. Выбирается наиболее удобный (рациональный) способ с учетом особенностей каждого конкретного приема.

4. Применяется свойство при выполнении различных упражнений. Даются задания вида: реши разными способами, удобным способом, объясни запись, продолжи запись и т.д.

VII. Начальный курс математики включает ряд правил:

1. Правило умножения на 0 (а´0=0).

2. Правило умножения на 1 (а´1=1).

3. Невозможность деления на 0 (а:0).

4. Правила о порядке выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

В начальной школе правила принимаются без доказательств.

Мы рассмотрели 7 основных групп теоретического материала, которые изучаются в начальной школе. Эти группы являются теоретической основой для введения вычислительных приемов и формирования вычислительных навыков.

1. .Бескоровайная Л.С., Перекатьева О.В.Методика современного открытого урока математики. 1-2 классы.- Ростов н\Д : Феникс, 2003.- 412.

2. Бахтина С.В.. Поурочные разработки по математике.4 класс: к учеб. Моро М.И. и др. Математика В 2-х ч. М.: Просвещение.- М.: Экзамен, 2008. – 346. (Учебно-методический комплект).

3. Дебашина Е.Ю. Самостоятельная работа на уроках математики в условиях развивающего обучения. Начальная школа. № 7. С.101.2003.

4. Демидова Т. Е., Козлова С.А., Тонких А.П.. Моя математика. Учебник для 3-го класса в 3-х частях. Часть 1-4. Изд. 2-е, испр. -М.: Баласс, Издательский Дом РАО, 2005.-96 с. (Образовательная система «Школа 2100»)

Понятия вычислительного приема и вычислительного навыка.
Классификация вычислительных приемов

Вычислительный прием — это способ нахождения результата арифметического действия.

Вычислительный навык — это вычислительный прием, доведенный до автоматизма или высокая степень овладения вычислительным приемом.

Приобрести вычислительный навык — это значит для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результаты арифметических действий.

Все вычислительные приемы делятся на две группы: устные и письменные.

Устные и письменные приемы имеют сходство и различия. Покажем основные отличия в таблице.

Устные вычислительные приемы	Письменные вычислительные приемы
1. Выполняются устно, записываются в строчку: 34+20=(30+4)+20=(30+20)+4=54	1. Выполняются в столбик: + 18
2. Операции начинают выполняться с единиц высших разрядов	2. Операции начинают выполнять с единиц низших разрядов
3. Промежуточные результаты запоминаются, записываются только на стадии ознакомления	3. Промежуточные результаты записываются
4. Теоретическая основа может быть различна: 12+12+12+12+12=60. Т.о. — конкретный смысл арифметического действия умножения. 12´5=(10+2)´5=10´5+2´5=60. Т.о. — свойство умножения суммы на число. 12´5=12´10:2=60. Т.о. — изменение результата в зависимости от изменения одного из компонентов.	Теоретическая основа всегда единственна. Приемы основаны на принципе по разрядности
5. Рассматриваются на области чисел, начиная с 10 и до многозначных чисел, где вычисления не затруднены	Рассматриваются на области чисел, начиная с сотни и до бесконечности.

Читайте также: Где результаты егэ 2009

Устные и письменные вычислительные приемы имеют сходство. Все вычислительные приемы основаны на знании теоретического материала. В зависимости от теоретического материала они делятся на шесть групп.

I группа. Вычислительные приемы, основанные на знании нумерации:

1. Знание принципа образования натуральной последовательности. Случаи вида: а+1.

Дети должны усвоить, что для того чтобы прибавить 1, надо назвать следующее число; вычесть 1 — назвать предыдущее число: 7+1; 26-1; 393+1; 10000-1.

2. Знание разрядного состава чисел. Случаи вида:

40+5=45 — рассуждения учащихся могут быть такие: 4 десятка и 5 единиц образуют число 45.

45-5=40 — если из 4 десятков и 5 единиц вычесть 5 единиц, то получим 4 десятка.

45-40=5 — если из 4 десятков и 5 единиц вычесть 4 десятка то получим 5 единиц.

3. Прием, основанный на знании поместного значения цифры (позиционного принципа записи чисел). В зависимости от того, на каком месте (позиции) стоит цифра в записи числа , она имеет разное значение. В эту группу входят случаи умножения и деления на 10, 100, 1000 без остатка.

Умножить на 10, значит приписать один нуль (7 умножить на 10, 7 записываем на второе место справа, на место десятков). Разделить на 10, значит отбросить один нуль.

II группа. Вычислительные приемы, теоретической основой которых является знание конкретного смысла арифметических действий.

1. Случаи вида: а+2, 3, 4, 0, (5+5), (в пределах 20). Применяется прием присчитывания и отсчитывания по одному и группами:

Источник

Урок 51. Названия компонентов и результата действия умножения

Умножение – математическое действие, посредством которого из двух чисел получается новое число, которое содержит слагаемым первое число столько раз, сколько единиц во втором.

Произведение – это результат умножения.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.2/ М. И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др. –

8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – с.54.

Математика. Рабочая тетрадь. 2 класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.2/ М. И. Моро, М.А.Бантова –

7-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2016. – с.46.

Открытые электронные ресурсы по теме урока:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Составьте выражения к рисункам:

2 3

Учимся рассуждать. Числа разные: 2 и 3.

К данному рисунку можем составить выражение на сложение: 2 + 3 = 5

Числа одинаковые: 2, 2, 2. К данному рисунку можем составить выражение на умножение:

Компоненты каждого математического действия имеют название.

Компоненты сложения указывают на производимое действие – сложение: первое слагаемое, второе слагаемое, сумма.

Компоненты вычитания указывают на производимое действие — вычитание: уменьшаемое, вычитаемое, разность.

Компоненты умножения указывают на производимое действие — умножение.

Названия носят города и реки,

Вам от рождения фамилия дана.

И каждому числу при умножении

Особенные дали имена.

Так же, как и при сложении и вычитании, числа при умножении тоже имеют свое название.

Первое число при умножении называется первый множитель. Второе число при умножении называется второй множитель. Результат умножения называют произведение.

Зная, как называются числа при умножении, можно использовать эти термины при чтении выражений.

Равенство 5 · 2 = 10 можно прочитать несколькими способами:

— Первый множитель – пять, второй множитель – два, произведение – десять.

— Произведение пяти и двух равно десяти.

— Пять умножить на два, равняется десять.

Рассмотрим задание: слагаемое 12 повторяется 4 раза. Запишите такую сумму в виде произведения.

Назовите первый множитель этого произведения. Что он обозначает?

Первый множитель этого произведения обозначает слагаемое.

Слагаемое 12 повторяется 4 раза.

Назовите второй множитель этого произведения. Что он обозначает? Второй множитель этого произведения обозначает количество слагаемых.

Слагаемое 12 повторяется 4 раза.

Получилась запись: 12+12+12+12=12·4

Помните, что заменить сложение умножением можно там, где находятся суммы одинаковых слагаемых.

Источник

Компоненты арифметических действий в картинках

Каждое математическое действие можно разложить на простые компоненты. На уроках в школе это понятным языком расскажет учитель, а с помощью простых и наглядных иллюстраций из нашей статьи ребенок сможет закрепить эти знаний самостоятельно.

Компоненты математических действий.