Обработка результатов измерений при наличии случайной погрешности



Обработка прямых многократных измерений

Рассмотрим, прежде всего, статистические измерения, при кото­рых многократные измерения проводятся для уменьшения влияния случайных погрешностей. Результат каждого измерения x_i при этом дает оценку измеряемой величины.

Результат наблюдения x_i отличается от истинного x_и значения изме­ряемой величины из-за случайной Δ_сл и систематической Δ_ст составляющих погрешности

Повторяя наблюдение, можно получить информацию о случай­ной погрешности. О систематической погрешности из этих наблю­дений информацию извлечь нельзя. Для оценки систематической погрешности необходимо знать свойства используемых средств из­мерений, метод измерений и условия измерений.

Считается, что для нормального закона распределения среднее арифметическое значение является самой эффективной оценкой измеряемой величины.

В общем случае алгоритм обработки результатов многократных измерений состоит в следующем:

1 Исключают из результатов наблюдений известные системати­ческие погрешности Δ_ст. Если известно, что все результаты наблюдений отягощены одинаковой постоянной систематической погреш­ностью, ее исключают из результата измерений.

2 Если есть подозрение о наличии анормальных наблюдений (грубых погрешностей, промахов), то проверяют эту гипотезу. Для этого находят предварительные значения среднего арифметического (исключив из него систематическую погреш­ность Δ_ст) и среднее квадратическое отклонение . Затем вычисляют отношение для анормального наблюдения

и сравнивают его с табличным значением t_Г , , имеющим для данного числа n и уровня значимости q₃ определенное значение и выбранное из таблицы П4.2. Если t>t_Г , то х_в можно считать анормальными и исключить их из дальнейшей обработки (отбросить).

3 Вычисляют среднее арифметическое значениеисправленных результатов наблюдений . Если все результаты наблюдений х_i отягощены одинаковой по­грешностью Δ, то сначала вычисляют среднее арифметическое неисправленных результатов измерений: где x_нi — неисправленный результат i-го измерения, а затем вычисляют исправленный резуль­тат измерений .

4 Вычисляют оценку среднего квадратического отклонения результата наблюдений по формуле

5 Рассчитывают оценку среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения (результата измерений) по формуле

6 Определяют принадлежность результатов наблюдений нормальному распределению.

7 Определяют доверительные границы случайной погрешности результата измерений по формуле

где t_n,p — коэффициент, определяемый по таблице распределения Стьюдента (П4.3) по заданной доверительной вероятности p (или ) и числу наблюдений n.

9 Определяют границы не исключенной систематической погрешности. Если известно, что погрешность результата измерений определяется рядом составляющих не исключенных систематических погрешностей, каждая из которых имеет свои доверительные границы, то при неизвестных законах распределения их границы суммарной погрешности находят по формуле

где m – число не исключенных систематических составляющих погрешнос­ти результата измерения;

k — коэффициент, принимаемый равным 1,1 при доверительной вероятности p= =0,95 и зависящий от чис­ла не исключенных составляющих систематических погрешностей.

10 Определяют соотношение . Если это соотношение мень­ше 0,8, то не исключенными погрешностями пренебрегают и в ка­честве границы погрешности результата измерений принимают Δ= . Если >8, то пренебрегают случайной погрешностью и счи­тают, что Δ= . Если 0,8< <8, при определении границ по­грешности Δ следует учитывать и случайную и систематическую составляющие.

11 Определяют границу погрешности результата измерений по формуле

12 Представляют результат измерения и погрешности для случая симметричных доверительных границ в форме .

Источник

Обработка результатов наблюдений и оценивание погрешностей измерений

Оценку погрешности результата измерения выполняют при разра­ботке методики выполнения измерений (МВИ). Источниками погрешностей являются модель объекта измерений (ОИ), метод изме­рения (МВИ), средство измерения (СИ), оператор связи измеряемых и вычисляемых физических величин, влияющие факторы условий измерений, алгоритм об­работки результатов наблюдений.

Как правило, погрешность результате измерения оценивается при доверительной вероятности Р — 0,95.

При выборе значения Р необходимо учитывать степень важности (ответственности) результата измерений. Например, если ошибка в изме­рении может привести к гибели людей или к тяжелым экологическим по­следствиям, значение Р должно быть увеличено.

1. Измерения с однократными наблюдениями. За результат изме­рения в этом случае принимают результат однократного наблюдения х (с введением поправки, если она имеется), используя предварительно полу­ченные (например, при разработке МВИ) данные об источниках, состав­ляющих погрешность.

Доверительные границы неисключенной систематической погрешности (НСП) результата измерения Ө(Р) вычисляют по формуле:

где k(P) — коэффициент, определяемый принятой Р и числом m, состав­ляющих НСП: Ө(Р) — найденные нестатистическими методами границы j-ой составляющей НСП (границы интервала, внутри которого находится эта составляющая, определяемые при отсутствии сведений о вероятности ее нахождения в этом интервале). При Р = 0,90 и 0,95 k(P) равен 0,95 и 1,1, соответственно при любом числе слагаемых Ш| При Р — 0,99 значения k(P) следующие (табл. 3.1):

Таблица 3.1. значения коэффициентов k(P)

Если составляющие НСП распределены равномерно и заданы дове­рительными границами Θ(Р), то доверительную границу НСП результата измерения вычисляют по формуле:

где k и k_j — те же, что и в предыдущем случае, коэффициенты, соответст­вующие доверительной вероятности Р и P_j соответственно; m_j — число со­ставляющих НСП.

Среднеквадратическое отклонение (СКО) результата измерения с однократным наблюдением вычисляют одним из следующих способов.

Если в технической документации на СИ или в МВИ указаны нор­мально распределенные составляющие случайной погрешности результата наблюдения (инструментальная, методическая, из-за влияющих факторов, оператора и т.д.), то СКО вычисляют по формуле:

где m₂ — число составляющих случайной погрешности; S_j — значения СКО этих составляющих.

Доверительную границу случайной погрешности результата измерения е(Р) в этом случае вычисляют по формуле:

где Z _p/2 — значение нормированной функции Лапласа в точке Р/2 при доверительной вероятности Р (табл. 3.2):

Таблица 3.2. значения нормированной функции Лапласа

Р	Z p/2	Р	Z p/2
0,90	1,65	0,97	2,17
0,95	1,96	0,98	2,33
0,96	2,06	0,99	2,58

2. Если в тех же документах случайные составляющие погрешности результата наблюдения представлены доверительными границами е_j(Р) при одной и той же доверительной вероятности Р, то доверительную гра­ницу случайной погрешности результата измерения с однократным наблю­дением пои доверительной вероятности вычисляют по формуле

Источник

Обработка результатов измерений при наличии случайной погрешности

ГОСТ Р 8.736-2011

НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственная система обеспечения единства измерений

ИЗМЕРЕНИЯ ПРЯМЫЕ МНОГОКРАТНЫЕ

Методы обработки результатов измерений. Основные положения

State system for ensuring the uniformity of measurements. Multiple Direct measurements. Methods of measurement results processing. Main positions

Дата введения 2013-01-01

Предисловие

1 РАЗРАБОТАН Федеральным государственным унитарным предприятием "Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии им.Д.И.Менделеева" (ФГУП "ВНИИМ им.Д.И.Менделеева")

2 ВНЕСЕН Управлением метрологии Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии

4 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

5 ПЕРЕИЗДАНИЕ. Март 2019 г.

Правила применения настоящего стандарта установлены в статье 26 Федерального закона от 29 июня 2015 г. N 162-ФЗ "О стандартизации в Российской Федерации". Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодном (по состоянию на 1 января текущего года) информационном указателе "Национальные стандарты", а официальный текст изменений и поправок — в ежемесячном информационном указателе "Национальные стандарты". В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ближайшем выпуске ежемесячного информационного указателя "Национальные стандарты". Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет (www.gost.ru)

1 Область применения

Настоящий стандарт распространяется на прямые многократные независимые измерения и устанавливает основные положения методов обработки результатов этих измерений и вычисления погрешностей оценки измеряемой величины.

В настоящем стандарте учтены требования, предъявляемые к методам и результатам измерений в соответствии с ГОСТ Р ИСО 5725-1, ГОСТ Р ИСО 5725-2, ГОСТ Р ИСО 5725-3, ГОСТ Р ИСО 5725-4, ГОСТ Р ИСО 5725-5, ГОСТ Р ИСО 5725-6.

2 Нормативные ссылки

В настоящем стандарте использованы нормативные ссылки на следующие стандарты:

ГОСТ Р ИСО 5725-1 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 1. Основные положения и определения

ГОСТ Р ИСО 5725-2 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 2. Основной метод определения повторяемости и воспроизводимости стандартного метода измерений

ГОСТ Р ИСО 5725-3 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 3. Промежуточные показатели прецизионности стандартного метода измерений

ГОСТ Р ИСО 5725-4 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 4. Основные методы определения правильности стандартного метода измерений

ГОСТ Р ИСО 5725-5 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 5. Альтернативные методы определения прецизионности стандартного метода измерений

ГОСТ Р ИСО 5725-6 Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов измерений. Часть 6. Использование значений точности на практике

Примечание — При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов в информационной системе общего пользования — на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет или по ежегодному информационному указателю "Национальные стандарты", который опубликован по состоянию на 1 января текущего года, и по выпускам ежемесячного информационного указателя "Национальные стандарты" за текущий год. Если заменен ссылочный стандарт, на который дана недатированная ссылка, то рекомендуется использовать действующую версию этого стандарта с учетом всех внесенных в данную версию изменений. Если заменен ссылочный стандарт, на который дана датированная ссылка, то рекомендуется использовать версию этого стандарта с указанным выше годом утверждения (принятия). Если после утверждения настоящего стандарта в ссылочный стандарт, на который дана датированная ссылка, внесено изменение, затрагивающее положение, на которое дана ссылка, то это положение рекомендуется применять без учета данного изменения. Если ссылочный стандарт отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, рекомендуется применять в части, не затрагивающей эту ссылку.

3 Термины и определения

В настоящем стандарте применены следующие термины с соответствующими определениями.

результат измерения физической величины; результат измерения; результат: Значение величины, полученное путем ее измерения.

[Рекомендации по межгосударственной стандартизации [1], статья 8.1]

3.2 неисправленный результат измерений величины: Результат измерений величины, полученный до введения в него поправки в целях устранения систематических погрешностей.

3.3 исправленный результат измерений величины: Результат измерений величины, полученный после введения поправки в целях устранения систематических погрешностей в неисправленный результат измерений величины.

3.4 неисправленная оценка измеряемой величины: Среднее арифметическое значение результатов измерений величины до введения в них поправки в целях устранения систематических погрешностей.

3.5 исправленная оценка измеряемой величины: Среднее арифметическое значение результатов измерений величины после введения поправки в целях устранения систематических погрешностей в неисправленную оценку измеряемой величины.

3.6 группа результатов измерений величин: Несколько результатов измерений (не менее четырех, 4), полученных при измерениях одной и той же величины, выполненных с одинаковой тщательностью, одним и тем же средством измерений, одним и тем же методом и одним и тем же оператором.

3.7 погрешность измерения: Разность между результатом измерения величины и действительным (опорным) значением величины.

3.8 случайная погрешность измерения; случайная погрешность: Составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях одной и той же величины, проведенных с одинаковой тщательностью.

3.9 систематическая погрешность измерения; систематическая погрешность: Составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины, проведенных с одинаковой тщательностью.

3.10 неисключенная систематическая погрешность измерения: Составляющая погрешности измерения, обусловленная погрешностью оценивания систематической погрешности, на которую введена поправка, или систематической погрешностью, на которую поправка не введена.

3.11 грубая погрешность измерения: Погрешность измерения, существенно превышающая зависящие от объективных условий измерений значения систематической и случайной погрешностей.

4 Общие положения

4.1 Необходимость выполнения прямых многократных измерений устанавливают в конкретных методиках измерений.

Примечание — Под многократными измерениями понимают не менее четырех измерений.

4.2 При статистической обработке группы результатов прямых многократных независимых измерений выполняют следующие операции:

— исключают известные систематические погрешности из результатов измерений;

— вычисляют оценку измеряемой величины;

— вычисляют среднее квадратическое отклонение результатов измерений;

— проверяют наличие грубых погрешностей и при необходимости исключают их;

— проверяют гипотезу о принадлежности результатов измерений нормальному распределению;

— вычисляют доверительные границы случайной погрешности (доверительную случайную погрешность) оценки измеряемой величины;

— вычисляют доверительные границы (границы) неисключенной систематической погрешности оценки измеряемой величины;

— вычисляют доверительные границы погрешности оценки измеряемой величины.

4.3 Проверку гипотезы о том, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению, проводят с уровнем значимости от 10% до 2%. Конкретные значения уровней значимости должны быть указаны в конкретной методике измерений.

4.4 Для определения доверительных границ погрешности оценки измеряемой величины доверительную вероятность принимают равной 0,95.

В случаях, когда измерение не представляется возможным повторить, помимо границ, соответствующих доверительной вероятности 0,95, допускается указывать границы для доверительной вероятности 0,99.

В особых случаях, например при измерениях, результаты которых имеют значение для здоровья людей, допускается кроме доверительной вероятности 0,99 указывать более высокую доверительную вероятность.

4.5 В настоящем стандарте изложены требования к методам обработки результатов измерений и к оцениванию точности измеряемой величины посредством погрешностей.

5 Оценка измеряемой величины и среднее квадратическое отклонение

5.1 Оценку измеряемой величины , за которую принимают среднее арифметическое значение исправленных результатов измерений, вычисляют по формуле

, (1)

где — -й результат измерений;

— число исправленных результатов измерений.

Примечание — Если во всех результатах измерений содержится постоянная систематическая погрешность, ее допускается исключить из вычисленного среднего арифметического значения неисправленных результатов измерений.

5.2 В целях удобства вычислений формулу (1) допускается записать в виде

, (2)

где — близкое к значение, удобное для расчета;

.

5.3 Среднее квадратическое отклонение группы, содержащей результатов измерений, вычисляют по формуле

. (3)

Примечание — Наличие случайных погрешностей вызывает рассеяние результатов измерений. В качестве основной числовой характеристики случайного рассеяния результатов измерений принята дисперсия или стандартное отклонение . Ограниченное число результатов измерений позволяет получать лишь оценки этих характеристик ( и ). Математическое ожидание оценки равно дисперсии , однако математическое ожидание оценки отлично от , так как оценка смещена.

Несмещенную оценку допускается вычислять по упрощенной формуле

.

Источник

Обработка результатов измерений при наличии случайной погрешности

Всероссийский научно-исследовательский институт
оптико-физических измерений

ПОИСК И НАВИГАЦИЯ

МЫ НА YOUTUBE

• Главная
• О ВНИИОФИ
• РМГ
• Погрешности измерений

Погрешности измерений

Погрешность результата измерения (англ. error of a measurement) – отклонение результата измерения от истинного (действительного) значения измеряемой величины.
Примечания:

• Истинное значение величины неизвестно, его применяют только в теоретических исследованиях.
• На практике используют действительное значение величины x_Д ,в результате чего погрешность измерения Dx_ИЗМ определяют по формуле: Dx_ИЗМ = x_ИЗМ —x_Д , где x_ИЗМ – измеренное значение величины.
• Синонимом термина погрешность измерения является термин ошибка измерения, применять который не рекомендуется как менее удачный.

Систематическая погрешность измерения (англ. systematic error) – составляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины.
Примечание. В зависимости от характера измерения систематические погрешности подразделяют на постоянные, прогрессивные, периодические и погрешности, изменяющиеся по сложному закону.
Постоянные погрешности — погрешности, которые длительное время сохраняют свое значение, например в течение времени выполнения всего ряда измерений. Они встречаются наиболее часто.
Прогрессивные погрешности — непрерывно возрастающие или убывающие погрешности. К ним относятся, например, погрешности вследствие износа измерительных наконечников, контактирующих с деталью при контроле ее прибором активного контроля.
Периодические погрешности — погрешности, значение которых является периодической функцией времени или перемещения указателя измерительного прибора.
Погрешности, изменяющиеся по сложному закону, происходят вследствие совместного действия нескольких систематических погрешностей.

Инструментальная погрешность измерения (англ. instrumental error) – составляющая погрешности измерения, обусловленная погрешностью применяемого средства измерений.

Погрешность метода измерений (англ. error of method) – составляющая систематической погрешности измерений, обусловленная несовершенством принятого метода измерений.
Примечания:

• Вследствие упрощений, принятых в уравнениях для измерений, нередко возникают существенные погрешности, для компенсации действия которых следует вводить поправки. Погрешность метода иногда называют теоретической погрешностью.
• Иногда погрешность метода может проявляться как случайная.

Погрешность (измерения) из-за изменений условий измерения – составляющая систематической погрешности измерения, являющаяся следствием неучтенного влияния отклонения в одну сторону какого-либо из параметров, характеризующих условия измерений, от установленного значения.
Примечание. Этот термин применяют в случае неучтенного или недостаточно учтенного действия той или иной влияющей величины (температуры, атмосферного давления, влажности воздуха, напряженности магнитного поля, вибрации и др.); неправильной установки средств измерений, нарушения правил их взаимного расположения и др.

Субъективная погрешность измерения – составляющая систематической погрешности измерений, обусловленная индивидуальными особенностями оператора.
Примечания:

• Встречаются операторы, которые систематически опаздывают (или опережают) снимать отсчеты показаний средств измерений.
• Иногда субъективную погрешность называют личной погрешностью или личной разностью.

Неисключенная систематическая погрешность – составляющая погрешности результата измерений, обусловленная погрешностями вычисления и введения поправок на влияние систематических погрешностей или систематической погрешностью, поправка на действие которой не введена вследствие ее малости.
Примечания:

• 1. Иногда этот вид погрешности называют неисключенный (ые) остаток (остатки) систематической погрешности.
• 2. Неисключенная систематическая погрешность характеризуется ее границами. Границы неисключенной систематической погрешности θ при числе слагаемых N≤3 вычисляют по формуле:

,

Случайная погрешность измерения (англ. random error) – составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях, проведенных с одинаковой тщательностью, одной и той же физической величины.

Абсолютная погрешность измерения (англ. absolute error of a measurement) – погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины.

Абсолютное значение погрешности (англ. absolute value of an error) – значение погрешности без учета ее знака (модуль погрешности).
Примечание. Необходимо различать термины абсолютная погрешность и абсолютное значение погрешности.

Относительная погрешность измерения (англ. relative error) – погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или измеренному значению измеряемой величины.
Примечание. Относительную погрешность в долях или процентах находят из отношений:

,

Рассеяние результатов в ряду измерений (англ. dispersion) – несовпадение результатов измерений одной и той же величины в ряду равноточных измерений, как правило, обусловленное действием случайных погрешностей.
Примечания:

• Количественную оценку рассеяния результатов в ряду измерений вследствие действия случайных погрешностей обычно получают после введения поправок на действие систематических погрешностей.
• Оценками рассеяния результатов в ряду измерений могут быть: — размах, — среднее квадратическое отклонение (экспериментальное среднее квадратическое отклонение), — доверительные границы погрешности (доверительная граница). (в ред. Изменения N 2, введенного Приказом Росстандарта от 04.08.2010 N 203-ст)

Размах результатов измерений (англ. ) – оценка R_n рассеяния результатов единичных измерений физической n величины, образующих ряд (или выборку из n измерений), вычисляемая по формуле:

Среднее квадратическое отклонение результатов единичных измерений в ряду измерений (англ. experimental (sample) standard deviation) – характеристика S рассеяния результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины, вычисляемая по формуле:

,

Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значения результатов измерений (англ. experimental (sample) standard deviation) – характеристика S_x рассеяния среднего арифметического значения результатов равноточных измерений одной и той же величины, вычисляемая по формуле:

,

Доверительные границы погрешности результата измерений – наибольшее и наименьшее значения погрешности измерений, ограничивающие интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое (истинное) значение погрешности результата измерений.

Поправка (англ. correction) – значение величины, вводимое в неисправленный результат измерения с целью исключения составляющих систематической погрешности.
Примечание. Знак поправки противоположен знаку погрешности. Поправку, прибавляемую к номинальному значению меры, называют поправкой к значению меры; поправку, вводимую в показание измерительного прибора, называют поправкой к показанию прибора.

Поправочный множитель (англ. correction factor) – числовой коэффициент, на который умножают неисправленный результат измерения с целью исключения влияния систематической погрешности.
Примечание. Поправочный множитель используют в случаях, когда систематическая погрешность пропорциональна значению величины.

Точность результата измерений (англ. accuracy of measurement) – одна из характеристик качества измерения, отражающая близость к нулю погрешности результата измерения.
Примечание. Считают, что чем меньше погрешность измерения, тем больше его точность.

Неопределенность измерений (англ. uncertainty of measurement) – параметр, связанный с результатом измерений и характеризующий рассеяние значений, которые можно приписать измеряемой величине.

Погрешность метода поверки – погрешность применяемого метода передачи размера единицы при поверке.

Погрешность градуировки средства измерений – погрешность действительного значения величины, приписанного той или иной отметке шкалы средства измерений в результате градуировки.

Погрешность воспроизведения единицы физической величины – погрешность результата измерений, выполняемых при воспроизведении единицы физической величины.
Примечание. Погрешность воспроизведения единицы при помощи государственных эталонов обычно указывают в виде ее составляющих: неисключенной систематической погрешности; случайной погрешности; нестабильности за год.

Погрешность передачи размера единицы физической величины – погрешность результата измерений, выполняемых при передаче размера единицы.
Примечание. В погрешность передачи размера единицы входят как неисключенные систематические, так и случайные погрешности метода и средств измерений.

Статическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям статического измерения.

Динамическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям динамического измерения.

Промах – погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда.
Примечание. Иногда вместо термина промах применяют термин грубая погрешность измерений.

Предельная погрешность измерения в ряду измерений – максимальная погрешность измерения (плюс, минус), допускаемая для данной измерительной задачи.

Погрешность результата однократного измерения – погрешность одного измерения (не входящего в ряд измерений), оцениваемая на основании известных погрешностей средства и метода измерений в данных условиях (измерений).
Пример. При однократном измерении микрометром какого-либо размера детали получено значение величины, равное 12,55 мм. При этом еще до измерения известно, что погрешность микрометра в данном диапазоне составляет +/- 0,01 мм, и погрешность метода (непосредственной оценки) в данном случае принята равной нулю. Следовательно, погрешность полученного результата будет равна +/- 0,01 мм в данных условиях измерений.

Суммарное среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значения результатов измерений – характеристика S_∑ рассеяния среднего арифметического результатов измерений, обусловленная влиянием случайных и неисключенных систематических погрешностей и вычисляемая по формуле:

,

где: — СКО неисключенных систематических погрешностей при равномерном распределении каждой из них.

Источник