Ско погрешности результата измерения формула

Ско погрешности результата измерения формула

3.1 Среднеарифметическая погрешность.Как уже отмечалось раньше, измерения принципиально не могут быть абсолютно точными. Поэтому в ходе измерения возникает задача об определении интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Такой интервал указывают в виде абсолютной ошибки измерения.

Если предположить, что грубые промахи в измерениях устранены, а систематические ошибки сведены к минимуму тщательной настройкой приборов и всей установки и не являются определяющими, то результаты измерений будут, в основном, содержать только случайные погрешности, которые являются знакопеременными величинами. Поэтому, если проведено несколько повторных измерений одной и той же величины, то наиболее вероятным значением измеряемой величины является ее среднеарифметическое значение:

где a_i, — значение отдельных измерений, n — число проведенных измерений.

Погрешностью или абсолютной ошибкой отдельного измерения называют разность между значением, полученным в данном измерении, и среднеарифметическим значением измеряемой величины:

Средней абсолютной ошибкойназывается среднеарифметическое модулей абсолютных ошибок отдельных измерений:

При достаточно большом числе измерений случайные ошибки возникают с равной вероятностью как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения измеряемой величины, то есть можно считать, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале

Последнее неравенство обычно принято записывать как окончательный результат измерения следующим образом:

где абсолютная погрешность a_ср должна вычисляться (округляться) с точностью до одной-двух значащих цифр. Абсолютная ошибка показывает, в каком знаке числа содержатся неточности, поэтому в выражении для а_ср оставляют все верные цифры и одну сомнительную. То есть среднее значение и средняя ошибка измеряемой величины должны вычисляться до цифры одного и того же разряда. Например: g = (9,78 ± 0,24) м/с 2 .

Относительная погрешность.Абсолютная ошибка определяет интервал наиболее вероятных значений измеряемой величины, но не характеризует степень точности произведенных измерений. Например, расстояние между населенными пунктами, измеренное с точностью до нескольких метров, можно отнести к весьма точным измерениям, в то время как измерение диаметра проволоки с точностью до 1 мм, в большинстве случаев будет являться весьма приближенным измерением.

Степень точности проведенных измерений характеризует относительная погрешность.

Средней относительной погрешностьюили просто относительной ошибкой измерения называется отношение средней абсолютной ошибки измерения к среднему значению измеряемой величины:

или выраженная в процентах

Относительная ошибка является безразмерной величиной и обычно выражается в процентах.

3.2 Погрешность метода или приборная погрешность.Среднеарифметическое значение измеряемой величины тем ближе к истинному, чем больше проведено измерений, при этом абсолютная погрешность измерения с увеличением их числа стремится к значению, которое определяется методом измерения и техническими характеристиками используемых приборов.

Погрешность методаили приборную погрешность можно рассчитать по одноразовому измерению, зная класс точности прибора или другие данные технического паспорта прибора, в котором указывается либо класс точности прибора, либо его абсолютная или относительная погрешность измерения.

Класс точностиприбора выражает в процентах номинальную относительную ошибку прибора, то есть относительную ошибку измерения, когда измеряемая величина равна предельному для данного прибора значению

Класс точности указывается на шкале прибора цифрой, обведенной кружочком. Согласно ГОСТу все электроизмерительные приборы разделяются на 8 классов: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1.0 1,5; 2,5; 4,0.

Абсолютная погрешность прибора равна предельному для данного прибора значению измеряемой величины, умноженному на класс точности (К) и разделен­ному на 100:

Абсолютная погрешность прибора не зависит от значения измеряемой величины.

Относительная погрешность прибора (по определению):

откуда видно, что относительная приборная ошибка тем меньше, чем ближе значение измеряемой величины к пределу измерения данного прибора. Поэтому ре­комендуется подбирать приборы так, чтобы измеряемая величина составляла 60 -90% от величины, на которую рассчитан прибор. При работе с многопредельными приборами тоже следует стремиться к тому, чтобы отсчет производился во второй половине шкалы.

При работе с простыми приборами (линейка, мензурка и т.п.), классы точности и погрешности которых не определены техническими характеристиками, абсолютную погрешность прямых измерений принимают равной половине цены деления данного прибора. (Ценой деления называют значение измеряемой величины при показаниях прибора в одно деление).

Приборную погрешность косвенных измеренийможно рассчитать, используя правила приближенных вычислений. В основе вычисления погрешности косвенных измерений лежат два условия (предположения):

1. Абсолютные ошибки измерений всегда очень малы по сравнению с измеряемыми величинами. Поэтому абсолютные ошибки (в теории) можно рассматривать как бесконечно малые приращения измеряемых величин, и они могут быть заменены соответствующими дифференциалами.

2. Если физическая величина, которую определяют косвенным путем, является функцией одной или нескольких непосредственно измеряемых величин, то абсолютная ошибка функции, обусловленная бесконечно малыми приращениями, является также бесконечно малой величиной.

При указанных допущениях абсолютную и относительную погрешность можно рассчитать, используя известные выражения из теории дифференциального исчисления функций многих переменных:

Источник



Оценка погрешностей измерений. Расчет выборочного стандартного отклонения

Пусть измеряемая имеет известное значение величина X. Естественно, отдельные, найденные в процессе измерения значения этой величины x1,x2,…xn заведомо не вполне точны, т.е. не совпадают с X. Тогда величина
будет являться абсолютной погрешностью i-го измерения. Но поскольку истинное значение результата X, как правило, не известно, то реальную оценку абсолютной погрешности используя вместо X среднее арифметическое
,которое рассчитывают по формуле:

Однако при малых объемах выборки вместо
предпочтительнее пользоваться медианой. Медианой (Ме) называют такое значение случайной величины х, при котором половина результатов имеет значение меньшее, а другая ­большее, чем Ме. Для вычисления Ме результаты располагают в порядке возрастания, то есть образуют так называемый вариационный ряд. Для нечетного количества измерений n мeдиана равна значению среднего члена ряда. Например,
для n=3

Для четных n, значение Ме равно полусумме значений двух средних результатов. Например,
для n=4

Далее рассчитывают среднеквадратичную погрешность (стандартное отклонение выборки), являющуюся мерой разброса и характеризующую случайную погрешность определения:

Выборочное стандартное отклонение sзависит от объема выборки n и ее значение колеблется по случайному закону около постоянного значения генерального стандартного отклонения σ

Для расчета s пользуются неокругленными результатами анализа с неточным последним десятичным знаком.
При очень большом числе выборки (n>
) случайные погрешности могут быть описаны при помощи нормального закона распределения Гаусса. При малых n распределение может отличаться от нормального. В математической статистике эта дополнительная ненадежность устраняется модифицированным симметричным t-распределением. Существует некоторый коэффициент t, называемый коэффициентом Стьюдента, который в зависимости от числа степеней свободы (f) и доверительной вероятности (Р) позволяет перейти от выборки к генеральной совокупности.
Стандартное отклонение среднего результата
определяется по формуле:

Разности между средним
выборки и средним значением генеральной совокупности μ лежат в Р случаях в пределах, которые при помощи нормального распределения и связанного с ним t-распределения определяются следующим выражением:

является доверительным интервалом среднего значения
. Для серийных анализов обычно полагают Р = 0,95.

Таблица 1. значения коэффициента Стьюдента (t)

Пример 1. Из десяти определений содержания марганца в пробе требуется подсчитать стандартное отклонение единичного анализа и доверительный интервал среднего значения Mn %: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68.
Решение. По формуле (1) подсчитывают среднее значение анализа

= 0,679 .
Далее по формуле (2) находят стандартное отклонение единичного результата

По табл. 1 (приложение) находят для f = n-1= 9 коэффициент Стьюдента (Р = 0,95) t = 2,26 и рассчитывают доверительный интервал среднего значения.

По табл. 1 (приложение) находят для f=n-1=9 коэффициент Стьюдента (Р=0,95) t=2,26 и рассчитывают доверительный интервал среднего значения. Таким образом, среднее значение анализа определяется интервалом (0,679 ± 0,009) % Мn.

Пример 2. Среднее из девяти измерений давления паров воды над раствором карбамида при 20°С равно 2,02 кПа. Выборочное стандартное отклонение измерений s = 0,04 кПа. Определить ширину доверительного интервала для среднего из девяти и единичного измерения, отвечающего 95 % — й доверительной вероятности.
Решение. Коэффициент Стьюдента t для доверительной вероятности 0,95 и f = 8 равен 2,31. Учитывая, что

— ширина доверит. интервала для среднего значения

— ширина доверит. интервала для единичного измерения значения

Если же имеются результаты анализа образцов с различным содержанием, то из частных средних s путем усреднения можно вычислить общее среднее значение s. Имея m проб и для каждой пробы проводя nj параллельных определений, результаты представляют в виде таблицы:

Источник

Обработка результатов косвенных измерений

Определить электрическую емкость и заряд кабеля, радиус центральной жилы которого равенr =1,5 см, радиус оболочки R=3,0 см, относительная диэлектрическая проницаемость материала изоляции ε=3,6 а разность потенциалов между центральной жилой и оболочкой 2,5 кВ.

Решение: Емкость кабеля определяем по формуле

Где L-длина кабеля, R — радиус оболочки, r -радиус центральной жилы, -диэлектрическая проницаемость материала изоляции, -электрическая постоянная(абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума).

Переведем данные задачи в единицы СИ:

Подсчитаем емкость единицы длины кабеля

Найдем теперь заряд, приходящийся также на единицу длины кабеля. Для этого воспользуемся формулой ,откуда ,

где q -электрический заряд, приходящийся на единицу длины кабеля;U -разность потенциа-лов между центральной жилой и оболочкой, которая в СИ равна В.

Задача 2.

Найти относительную магнитную проницаемость железного сердечникасоленоида , если площадь поперечного сечения последнего 12 ; число витков на каждый метр длины n =400 ;ток, проходящий через соленоид 6 А; магнитный поток , пронизывающий соленоид с сердечником Вб.

Решение:Относительная магнитная проницаемость сердечника определяем по формуле

где -магнитная постоянная в единицах СИ

Н-напряженность магнитного поля внутри соленоида

Из формулы(*) находим

Переведем данные задачи в единицы СИ:

Пример обработки ряда прямых измерений

Задача

При измерении напряжения источника питания получены следующие результаты, В: 9,78; 9,65; 9,83; 9,69; 9,74; 9,80; 9,68: 9,71; 9,81. Найти результат и погрешность измерения напряжения и записать в стандартной форме, если систематическая погрешность отсутствует, а случайная распределена по нормальному закону.

1.Находят среднее арифметическое и принимают его за результат измерения:

2. Определяют СКО погрешности результата измерения:

3. Определяют доверительный интервал погрешности измерения. Поскольку в рассматриваемой задаче число измерений n<20, то доверительный интервал определяется коэффициентом Стьюдента t(n,p). Задавшись вероятностью 0,95 (n=9>,по табл1 находим значение коэффициента Стьюдента: t=2,306. Границы доверительного интервала: D=± ts_x=0,0215.2,306=0,0496»0,05 В.

Записывают результат измерения согласно первой формеГОСТ 8.011-72:

9,74 В; от -0,05 до 0,05 В; Р = 0,95.

Обработка результатов косвенных измерений

При косвенных измерениях, когда измеряется не сама величина непосредственно, а другие величины, связанные определенной зависимостью с величиной, подлежащей измерению, погрешность результата зависит от погрешностей каждого из прямых измерений, входящих в косвенное измерение.

Предположим, что следует определить величину У прямыми измерениями других величин x₁, x₂ …. x, с которыми она связана зависимостью y = f(x_1,x_2….,x_m). Пусть для каждой из величин x_iизвестен результат, систематическая погрешностьD_ci, CKO случайной погрешности s_xi. Требуется найти результат и оценить погрешность определения.

Задача решается следующим образом.

1. Значение величины y находят, подставляя в зависимостьy=f(x₁, x₂,…, x_m)известные значения x_i .

2. Систематическую погрешность измерения У определяют по формуле ,

где частные производные вычисляют при .

3. СКО случайной погрешности для y находят по выражению:

гдеr_ij — коэффициент корреляции между i-й и j-й погрешностями.

Если погрешности коррелированы r_i= ± 1, выражение для s_y примет вид:

При независимых погрешностях r_ij=0, и выражение для СКО можно записать как:

Задача. Определить результат и погрешность косвенного измерения мощности по результатам прямых измерений тока и сопротивления с независимыми случайными погрешностями, распределенными по нормальному закону: I=(15,0±0,02) А; P=0,99; R=(10,0±0,8) Ом; P=0,9.

Результат записать в стандартной форме для P= 0,96.

1. Определяют результат косвенного измерения мощности по формуле Р=I 2 R= 5,0 2 *10,0 = 250 Вт.

2. Определяют СКО случайной погрешности косвенного измерения. Для этого сначала находят СКО погрешности прямых измерений I и R. , где D_I= 0,01 А — половина доверительного интервала случайной погрешности измерения тока, Z_I— значение аргумента Z для функции Лапласа F(Z) при

3. По табл. 2 для F(Z)= 0,495 находят, что Z_I= 2,58. Отсюда s_I= 0,01/2,58 = 0,0039 А.

Аналогично для нахождения s_Rопределяют

Вычисляют частные производные:

Окончательно определяют СКО косвенного измерения:

4. Определяют доверительный интервал для погрешности косвенного измерения мощности с доверительной вероятностью P=0,96. Для F(Z)=P_P/2=0,96/2 = 0,48 по табл. 3 находят Z_P = 2,04 и вычисляют доверительный интервал:

Записывают результат в стандартной форме: Р=250±24,9 Вт, Р=0,96. .

Коэффициент t можно определить из таблицы 1 по заданному числу наблюдений n и заданной /выбранной/ доверительной вероятности P.

Источник

Расчет погрешности измерений

3.1 Среднеарифметическая погрешность.Как уже отмечалось раньше, измерения принципиально не могут быть абсолютно точными. Поэтому в ходе измерения возникает задача об определении интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Такой интервал указывают в виде абсолютной ошибки измерения.

Если предположить, что грубые промахи в измерениях устранены, а систематические ошибки сведены к минимуму тщательной настройкой приборов и всей установки и не являются определяющими, то результаты измерений будут, в основном, содержать только случайные погрешности, которые являются знакопеременными величинами. Поэтому, если проведено несколько повторных измерений одной и той же величины, то наиболее вероятным значением измеряемой величины является ее среднеарифметическое значение:

где a_i, — значение отдельных измерений, n — число проведенных измерений.

Погрешностью или абсолютной ошибкой отдельного измерения называют разность между значением, полученным в данном измерении, и среднеарифметическим значением измеряемой величины:

Средней абсолютной ошибкойназывается среднеарифметическое модулей абсолютных ошибок отдельных измерений:

При достаточно большом числе измерений случайные ошибки возникают с равной вероятностью как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения измеряемой величины, то есть можно считать, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале

Последнее неравенство обычно принято записывать как окончательный результат измерения следующим образом:

где абсолютная погрешность a_ср должна вычисляться (округляться) с точностью до одной-двух значащих цифр. Абсолютная ошибка показывает, в каком знаке числа содержатся неточности, поэтому в выражении для а_ср оставляют все верные цифры и одну сомнительную. То есть среднее значение и средняя ошибка измеряемой величины должны вычисляться до цифры одного и того же разряда. Например: g = (9,78 ± 0,24) м/с 2 .

Относительная погрешность.Абсолютная ошибка определяет интервал наиболее вероятных значений измеряемой величины, но не характеризует степень точности произведенных измерений. Например, расстояние между населенными пунктами, измеренное с точностью до нескольких метров, можно отнести к весьма точным измерениям, в то время как измерение диаметра проволоки с точностью до 1 мм, в большинстве случаев будет являться весьма приближенным измерением.

Степень точности проведенных измерений характеризует относительная погрешность.

Средней относительной погрешностьюили просто относительной ошибкой измерения называется отношение средней абсолютной ошибки измерения к среднему значению измеряемой величины:

или выраженная в процентах

Относительная ошибка является безразмерной величиной и обычно выражается в процентах.

3.2 Погрешность метода или приборная погрешность.Среднеарифметическое значение измеряемой величины тем ближе к истинному, чем больше проведено измерений, при этом абсолютная погрешность измерения с увеличением их числа стремится к значению, которое определяется методом измерения и техническими характеристиками используемых приборов.

Погрешность методаили приборную погрешность можно рассчитать по одноразовому измерению, зная класс точности прибора или другие данные технического паспорта прибора, в котором указывается либо класс точности прибора, либо его абсолютная или относительная погрешность измерения.

Класс точностиприбора выражает в процентах номинальную относительную ошибку прибора, то есть относительную ошибку измерения, когда измеряемая величина равна предельному для данного прибора значению

Класс точности указывается на шкале прибора цифрой, обведенной кружочком. Согласно ГОСТу все электроизмерительные приборы разделяются на 8 классов: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1.0 1,5; 2,5; 4,0.

Абсолютная погрешность прибора равна предельному для данного прибора значению измеряемой величины, умноженному на класс точности (К) и разделен­ному на 100:

Абсолютная погрешность прибора не зависит от значения измеряемой величины.

Относительная погрешность прибора (по определению):

откуда видно, что относительная приборная ошибка тем меньше, чем ближе значение измеряемой величины к пределу измерения данного прибора. Поэтому ре­комендуется подбирать приборы так, чтобы измеряемая величина составляла 60 -90% от величины, на которую рассчитан прибор. При работе с многопредельными приборами тоже следует стремиться к тому, чтобы отсчет производился во второй половине шкалы.

При работе с простыми приборами (линейка, мензурка и т.п.), классы точности и погрешности которых не определены техническими характеристиками, абсолютную погрешность прямых измерений принимают равной половине цены деления данного прибора. (Ценой деления называют значение измеряемой величины при показаниях прибора в одно деление).

Приборную погрешность косвенных измеренийможно рассчитать, используя правила приближенных вычислений. В основе вычисления погрешности косвенных измерений лежат два условия (предположения):

1. Абсолютные ошибки измерений всегда очень малы по сравнению с измеряемыми величинами. Поэтому абсолютные ошибки (в теории) можно рассматривать как бесконечно малые приращения измеряемых величин, и они могут быть заменены соответствующими дифференциалами.

2. Если физическая величина, которую определяют косвенным путем, является функцией одной или нескольких непосредственно измеряемых величин, то абсолютная ошибка функции, обусловленная бесконечно малыми приращениями, является также бесконечно малой величиной.

При указанных допущениях абсолютную и относительную погрешность можно рассчитать, используя известные выражения из теории дифференциального исчисления функций многих переменных:

Источник