Нахождение объема конуса
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.
Составить программу вычисления объема цилиндра и конуса
I. Вычисления в математических задачах 28. Составить программу вычисления объема цилиндра и.
Алгоритм определения площади полной поверхности и объема конуса
Cоставить алгоритм определения площади полной поверхности и объема конуса, если известны длина.
Написать программу с использованием функции для вычисления объема конуса
Написать программу с использованием функции для вычисления объема конуса. Параметрами функции.
Вычисления объема цилиндра и конуса, которые имеют одинаковую высоту и одинаковый радиус основания
Составить программу вычисления объема цилиндра и конуса, которые имеют одинаковую высоту Н и.
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.
Дана высота и объем конуса, найти радиус основания конуса
Дана высота и объем конуса, найти радиус основания конуса! сможете еще формулу написать пожалуйста.
Нахождение объёма усечённого конуса
Есть задание: Определить площадь трапеции с основаниями а, b, высотой h и объем усеченного конуса.
Задача на нахождение объема усеченного конуса
Радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 20 см. Образующая 17 см. Найдите объем усеченного.
Расчет объёма и площади конуса и усеченного конуса используя классы и ООП
Добрый день! Есть следующая задача:Создать базовый класс «конус», описав в нём функции ввода.
В конус вписан шар. Отношение объёма конуса к объёму шара 9:4. Найти угол между образующей конуса и основанием
В конус вписан шар. Отношение объёма конуса к объёму шара 9:4. Найти угол между образующей конуса и.
Вычисление объема конуса и цилиндра
Здравствуйте, помогите составить программу, которая будет вычислять объём конуса и цилиндра. Вот.
Источник
Объем конуса
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам в личном кабинете
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно его приобрести.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Объем конуса»
Сегодня на уроке мы вспомним, какие фигуры мы назвали конусом, усечённым конусом, выведем формулы для вычисления объёма конуса и усечённого конуса.
Конус – это один из видов тел вращения. Рассмотрим произвольную плоскость 
, окружность 
с центром 
, лежащую в плоскости и прямую 
, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Через точку 
и каждую точку окружности проведём прямую.
Определение:
Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые – образующими конической поверхности.
Точка называется вершиной, а прямая называется осью конической поверхности.
Мы давали такое определение. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей , называется конусом.
Вспомним элементы конуса.
Основанием конуса называется круг, границей которого служит окружность .
Вершиной конуса называется вершина конической поверхности.
Образующими конуса называются отрезки образующих конической поверхности, заключённые между его вершиной и основанием. Отметим, что все образующие конуса равны друг другу.
Боковой поверхностью конуса называется фигура, образованная всеми образующими конуса.
Ось конической поверхности называется осью конуса. А её отрезок (или его длина), заключённый между вершиной и основанием, — высотой конуса.
Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов на 
.
На экране изображён конус, полученный вращением прямоугольного треугольника 
вокруг катета 
. В этом случае основание конуса образуется вращением катета 
, а боковая поверхность конуса – вращением гипотенузы 
.
Теперь давайте сформулируем и докажем теорему.
Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Доказательство. Рассмотрим конус с объёмом 
, радиусом основания 
, высотой 
и вершиной в точке .
Проведём ось 
так, чтобы она проходила черев высоту конуса. Любое сечение конуса плоскостью перпендикулярной к оси является кругом с центром в точке пересечения этой плоскости с осью . Например, с центром в точке 
. Обозначим радиус этого круга за 
, а площадь сечения обозначим за 
, где икс – абсцисса точки .
Поскольку ось проходит через высоту конуса, то, значит, что ось перпендикулярна плоскости основания, тогда плоскость сечения параллельна плоскости основания, значит, можно записать, что 
. Из параллельности этих отрезков следует равенство углов 
, 
, отсюда следует подобие треугольников 
.
Из подобия можно записать равенство отношений 
. Отрезок 
, 
– высота конуса, значит 
, тогда можно записать, что отношение 
.
Отсюда нетрудно выразить 
. Площадь сечения равна 
. Подставим вместо его выражение через радиус основания конуса, получим, что 
.
Для вычисления объёма воспользуемся основной формулой для вычисления объёмов тел.
Пределы интегрирования от 
до , получим, что объём равен 
.
Что и требовалось доказать.
Следствием этой теоремы будет формула для вычисления объёма усеченного конуса. Но прежде чем сформулировать следствие, давайте вспомним, какую фигуру мы назвали усечённым конусом.
Усечённым конусом называется часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, перпендикулярной оси конуса.
Назовём элементы усечённого конуса.
Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усечённого конуса.
Высотой усечённого конуса называется отрезок (или его длина), соединяющий центры его оснований.
Прямая 
называется его осью.
Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, расположенные между основаниями, называются образующими усечённого конуса.
Все образующие усечённого конуса равны друг другу.
Усечённый конус может быть получен вращением на прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.
Теперь сформулируем следствие.
Объём усечённого конуса, высота которой равна , а площадь оснований равны 
и 
, вычисляется по формуле:
Решим несколько задач.
Задача: заполнить таблицу недостающими данными.
Решение: в первой строке нам известны радиус основания конуса и высота конуса, для того, чтобы найти объём конуса, воспользуемся только что доказанной формулой 
.
Занесём получившееся значение в ячейку.
Во второй строке нам даны объем конуса и радиус его основания, для того чтобы найти высоту конуса, выразим из формулы объёма высоту и получим 
. Занесём получившееся значение в ячейку.
В третьей строке нам даны: объём конуса и его высота нам необходимо найти радиус основания конуса. Подставим эти значения в известную нам формулу, выразим из неё высоту конуса и получим 
.
Задача: высота конуса равна 
. На расстоянии 
от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найти объём исходного конуса, если объём меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен 
.
Решение: так как плоскость пересекает конус на расстоянии от вершины, значит, высота меньшего конуса равна 2 см.
Тогда зная объём меньшего конуса нетрудно найти радиус основания меньшего конуса 
.
Большой конус и маленький конус подобны, поэтому можно записать равенства отношений 
.
Отсюда нетрудно найти, что радиус основания большого конуса равен 
.
Тогда, подставив найденные значения в формулу для вычисления объёма, получим, что объём конуса равен 
.
Задача: радиусы оснований усечённого конуса равны 
и 
, а образующая конуса равна 
. Найти объём усечённого конуса.
Решение: построим осевое сечение усечённого конуса.
В осевом сечении будет равнобедренная трапеция, основаниями которой будут диаметры оснований конуса, а боковыми сторонами будут образующие усечённого конуса.
Опустим высоты трапеции, эти высоты будут равны высоте конуса. Поскольку трапеция равнобедренная, значит, высоты разбивают трапецию на два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник.
Нетрудно найти, что высота трапеции, а значит и усеченного конуса будет равна:
Вычислим площади оснований усечённого конуса.
Подставим найденные значения в формулу для вычисления объёма усеченного конуса и получим, что объём усечённого конуса равен 
.
Сегодня на уроке мы вспомнили, какие фигуры называются конусом и усечённым конусом, вывели формулы для вычисления объёмов конуса и усечённого конуса. Решили насколько задач.
Источник
Формула для определения объема конуса. Пример решения задачи
Каждый школьник при изучении стереометрии в старших классах сталкивался с конусом. Двумя важными характеристиками этой пространственной фигуры являются площадь поверхности и объем. В данной статье покажем, как находить объем круглого конуса.
Круглый конус как фигура вращения прямоугольного треугольника
Прежде чем переходить непосредственно к теме статьи, следует описать конус с геометрической точки зрения.
Пусть имеется некоторый прямоугольный треугольник. Если его вращать вокруг любого из катетов, то результатом этого действия станет искомая фигура, изображенная ниже на рисунке.
Здесь катет AB является частью оси конуса, а его длина соответствует высоте фигуры. Второй катет (отрезок CA) будет радиусом конуса. Во время вращения он опишет окружность, ограничивающую основание фигуры. Гипотенуза BC называется образующей фигуры, или ее генератрисой. Точка B — это вершина конуса, которая у него является единственной.
Учитывая свойства треугольника ABC, можно записать связь между генератрисой g, радиусом r и высотой h в виде следующего равенства:
Эта формула оказывается полезной при решении многих геометрических задач с рассматриваемой фигурой.
Формула объема конуса
Объемом всякой пространственной фигуры называют область пространства, которую ограничивают поверхности этой фигуры. Для конуса таких поверхностей две:
- Боковая, или коническая. Она образована всеми генератрисами.
- Основание. В данном случае оно является кругом.
Получим формулу для определения объема конуса. Для этого разрежем его мысленно на множество параллельных основанию слоев. Каждый из слоев имеет толщину dx, которая стремится к нулю. Площадь Sx слоя, который находится на расстоянии x от вершины фигуры, равна следующему выражению:
Справедливость этого выражения можно проверить интуитивно, если подставить значения x = 0 и x = h. В первом случае мы получим равную нулю площадь, во втором случае она будет равна площади круглого основания.
Для определения объема конуса необходимо сложит маленькие «объемчики» каждого слоя, то есть следует воспользоваться интегральным исчислением:
Вычисляя этот интеграл, приходим к конечной формуле для круглого конуса:
Любопытно отметить, что эта формула полностью аналогична той, которая используется для вычисления объема произвольной пирамиды. Это совпадение не случайное, ведь любая пирамида переходит в конус при увеличении количества ее ребер до бесконечности.
Задача на вычисление объема
Полезно привести пример решения задачи, который продемонстрирует использование выведенной формулы для объема V.
Дан круглый конус, у которого площадь основания равна 37 см 2 , а генератриса фигуры больше в три раза радиуса. Чему равен объем конуса?
Формулой для объема мы вправе воспользоваться, если знаем две величины: высоту h и радиус r. Найдем формулы, которые их определяют в соответствии с условием задачи.
Радиус r можно рассчитать, зная площадь круга So, имеем:
Пользуясь условием задачи, запишем равенство для генератрисы g:
Зная формулы для r и g, рассчитаем высоту h:
Мы нашли все необходимые параметры. Теперь пришло время подставить их в формулу для V:
Осталось подставить площадь основания So и вычислить значение объема: V = 119,75 см 3 .
Источник
Тема «Объем конуса»
I. Организационный момент.
II. Повторение основных сведений о конусе.
III. Историческая справка.
IV. Объяснение нового материала.
V. Решение задач на объем конуса (3 задачи).
VI. Дополнительная информация о конусе.
VII. Задание на дом.
VIII. Подведение итогов.
IX. Резервные устные вопросы.
I. Организационный момент
Учащимся сообщается план урока.
II. Повторение основных сведений о конусе
1. Определение прямого кругового конуса.
2. Сечения конуса (высветить кодопозитивы).
3. Площадь поверхности конуса.
III. Историческая справка
Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287–212 гг. до н. э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 гг. до н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.
Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н. э.). Платон был учеником Сократа (470–399 гг. до н. э.). Он в 387 г. до н. э. основал в Афинах Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий в Академию, читал надпись: «Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии». Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.
Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским (260–170 гг. до н. э.) – учеником Евклида (III в. до н. э.), который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.
IV. Объяснение нового материала
1-е доказательство (рис. 1).
2-е доказательство.
За величину объема конуса принимается предел, к которому стремится объем правильной пирамиды, вписанной в конус, при неограниченном удвоении числа сторон ее основания.
3-е доказательство (рис. 2).
V. Решение задач на объем конуса
Задача 1. Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м 3 земли имеет массу 1650 кг?
Решение (рис. 3).
Задача 2. Высветить слайд «Сбор смолы с сосен».
коническая воронка
D = 10 см
L = 13 см
V – ?
Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10 см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить 10-литровое ведро?
Решение (рис. 4).
Задача 3. Прослушаем фонограмму старинной легенды восточных народов, рассказанной А.С. Пушкиным в «Скупом рыцаре».
«. Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
Велел снести земли по горсти в кучу.
И гордый холм возвысился,
И царь мог с высоты с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли.»
Это одна из немногих легенд, в которой при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Докажите геометрически, что если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такую затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый холм».
Войско в 100 000 воинов считалось очень внушительным.
V = 0,2ж100 000 = 20 000 дм 3 = 20 м 3 .
Угол откоса Ј 45°, иначе земля начнет осыпаться. Возьмем угол откоса наибольшим возможным, т. е. 45° (рис. 5).
Надо обладать очень богатым воображением, чтобы земляную кучу в 2,7 м ( человеческих роста) назвать «гордым холмом». Сделав расчет для меньшего угла, мы получили бы еще более скромный результат.
У Аттилы было самое многочисленное войско, которое знал древний мир. Историки оценивают его в 700 000 человек. К сведению, Аттила – предводитель гуннов, кочевого народа, сложившегося в Приуралье из многих племен. Массовое передвижение гуннов на запад (с 70-х гг. IV в.) дало толчок «великому переселению народов». Наибольшего могущества гуннская держава достигла при Аттиле (?–453 гг.), который возглавил опустошительные походы в Восточно-Римскую империю (413 г., 447 г., 448 г., 451 г.). Но в 451 году на Каталаунских полях (равнина в северо-восточной Франции к западу от города Труа) войска Западно-Римской империи в союзе с франками, вест-готами, бургундами, аланами и др. разгромили гуннов во главе с Аттилой, что привело к распаду гуннской державы.
Если бы все воины Аттилы участвовали в насыпании холма, образовалась бы куча повыше вычисленной нами, но не очень. Советую вам самим дома вычислить высоту кургана и подумать, удовлетворила бы такая высота честолюбие Аттилы или нет.
VI. Дополнительная информация о конусе
1. В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.
2. В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.
3. «Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2–16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.
4. По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 000 000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности (рис. 6). Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. Некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения.5. В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает (рис. 7). Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.
VII. Задание на дом
VIII. Подведение итогов
Итак, мы с вами расширили понятие и представление о конусе, вывели формулу объема конуса, научились применять эту формулу при решении задач. Вопрос о конусе важен, так как конические детали имеются во многих машинах и механизмах. В автомобилях, танках, бронетранспортерах – конические шестерни; носовая часть самолетов и ракет имеет коническую форму.
IX. Резервные устные вопросы
Высветить через кодоскоп следующий кодопозитив (рис. 8):
Как найти объем тела, полученного при вращении каждой фигуры относительно изображенной оси?
Слова Яна Амоса Коменского: «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию».
Источник