Заполни таблицу операция обозначение тип результата умножение



Таблица умножения

Существуют разные способы заносить результаты математических действий в таблицы.

Таблица умножения чаще всего бывает представлена в двух вариантах: столбики, в каждом из которых записаны результаты умножения на какое-то число (чаще всего от 1 до 10) или же “таблица Пифагора”, в которой множители (чаще всего от 1 до 10 или до 20) записаны подряд в одной строке и в одном столбце. Результат умножения множителей записывают на пересечении столбца и строки множителей. Ниже приведены примеры оформления таблицы, в качестве знака умножения использованы “x” и “∙”, но на сайте есть также и другие варианты.

Таблица деления и таблица умножения, картинки: (можно скачать прямо эти картинки или же выбрать файл для распечатывания на отдельной странице).

Таблица умножения (черно-белая жирным шрифтом).

Цветная таблица умножения для распечатывания.

Здесь показано, как можно скачать картинку прямо с этой страницы

Таблица умножения без ответов для тренировки, примеры вразброс (также на сайте есть онлайн-тренажер с примерами автоматической проверкой)

Также можно скачать и фото таблицы умножнеия в хорошем качестве.

Таблица Пифагора (умножение до 9 на 9), ниже также представлен цветной вариант c умножение до 10 на 10 и в пределах 12. Описание на отдельной странице, посвященной таблице Пифагора, там же большее количество разновидностей.

Таблица умножения Пифагора до 10 на 10 (для распечатывания нужно нажатть на правую кнопку мышки над таблицей и выбрать вариант "сохранить картинку как").

Таблица умножения Пифагора в пределах 20 для распечатывания.

Умножение на 2

Умножение на 3

Умножение на 4

Умножение на 5

Умножение на 6

Умножение на 7

Умножение на 8

Умножение на 9

На сайте в специальном разделе есть большой выбор разных вариантов оформления и таблиц с использованием разных обозначений, а также таблица без знаков между множителями для тех, кто хочет сам расставить знаки, и таблица без ответов для тренировки. Так как разные люди иногда по-разному обозначают одно и то же, и наоборот одни и те же записи могут обозначать разное, лучше сразу перейти к примеру.

Зачем нужно умножение? Представим, что есть 3 корзины, в каждой из которых по 2 груши, тогда в трех корзинах будет всего 6 груш, и это может быть записано как 2+2+2 = 6. А что если корзин 10? Придется записывать 2+2+2+2+2+2+2+2+2+2=20. А если есть 100 таких корзин? Чтобы не писать такое длинное выражение, придумали сокращенную запись, более того, результаты наиболее часто встречающиеся действий записали в таблицу. В книгах можно встретить много способов такой сокращенной записи. Например, для “2+2+2 = 6” на сегодняшний день наиболее часто используют следующие варианты сокращенной записи:

2 ∙ 3 = 6 и другие способы.

Все эти обозначения приняты условно. Но во многих хорошо подготовленных книгах обычно бывает указано, какой смысл несут условные обозначения, также существуют способы записи, где x,*, . могут нести другой смысл, именно поэтому важно проверять список условных обозначений источника и понимать, что значит запись на самом деле.

На этом сайте в первую очередь речь пойдет о способах проверки и самопроверки знания таблицы.

Тесты сделаны как для запоминания таблицы умножения, так и для запоминания таблицы деления, что не менее важно. К сожалению, таблице деления до настоящего момента уделялось в современных онлайн-тренажерах намного меньшее внимания, хотя умение пользоваться таблицей деления также часто необходимо на практике и к тому же помогает закрепить знания. Если вы хотите распечатать таблицу умножения и деления на бумаге, то в специальном разделе сайта можно скачать ее и карточки для запоминания бесплатно.

Где-то Вы можете встретить таблицу умножения 2 класса, 3 класса, 4 класса и т.д.

Но ведь кто-то начинает учить таблицу в 6-7 лет или в конце 1 класса, кто-то – только лет в 8 во 2 классе, кто-то хочет повторить таблицу уже будучи взрослым. Намного удобнее, зная свой уровень подготовки, выбрать тест из предложенных, на этом сайте материал представлен в зависимости от уровня знаний так, чтобы проще было индивидуально найти подходящий материал, поэтому нет специального разделения по классам.

Итак, на сайте представлены следующие методы:

1. Интерактивные видео

(содержат в себе описание и тесты для пошагового изучения (материал сгруппирован таким образом, что Вы можете отдельно изучать умножения на каждое число, например, отдельно посмотреть видео для изучения умножения на 2, умножения на 3 и т.д.). Во время просмотра Вам будет предложено закрепить знания, тесты интегрированы прямо в видео. Если Вы захотите повторить пройденный материал, то нет необходимости смотреть видео снова, при повторении можно сразу проходить тесты второго уровня в отдельном блоке, не просматривая вводное видео.

Если Вы хотите отдельно посмотреть видео без тестов, то для этого подготовлен блок отдельных видео:

2. Тесты для пошагового изучения. Они подходят тем, кто уже имеет представление о том, как пользоваться таблицей умножения.

1) тесты первого уровня, самые простые, нужно выбрать ответ из предложенных, задания идут в порядке увеличения умножаемого числа, с помощью таких тестов можно тренироваться считать двойками, тройками и т.д.;

2)тесты второго уровня, нужно вписать ответ самостоятельно, задания идут по порядку;

3)тесты третьего уровня (нужно выбрать ответ из предложенных, задания для умножения только на одно число, например, для умножения на 2 или умножения на 3, идут вразброс);

4)тесты четвертого уровня (нужно вписать ответ, задания идут вразброс для части таблицы умножения);

5)тесты пятого уровня (нужно вписать ответ, задания идут вразброс для всей таблицы умножения от 1 до 10, отдельно выделены самые сложные задания).

3.Для изучения таблицы умножения до 20 созданы отдельные онлайн-тренажеры, игры таблицы умножения, карточки таблицы умножения до 20.

4.Формулы и таблица сокращенного умножения. Внимание, это уже совсем другие формулы. В школе обычно их проходят в 7 классе. Если Вам необходимо просто распечатать таблицу в хорошем качестве, то пример можно найти здесь. Если Вы хотите проверить знание формул сокращенного умножения -тренажер для этого есть на специальной странице.

5.Таблица умножения для распечатывания бесплатно и двусторонние карточки для распечатывания.

Источник

Таблицы истинности. 8-й класс

Цели урока: SMART цель сравнить способы заполнения таблиц истинности, выявить закономерности их заполнения.

• Повторить основные понятия логики;
• Ввести понятие “таблица истинности”;
• Изучить последовательность действий построения таблиц истинности;
• показать нахождение значения логических выражений посредством построения таблиц истинности;
• Ввести понятие равносильности логических выражений.

• Развивать логическое мышление;
• Развивать внимание;
• Развивать память;
• Развивать речь учащихся.

• Воспитывать умение слушать учителя и одноклассников;
• Воспитывать дисциплинированность;
• Формировать интеллектуальную и эмоциональную активность учащихся;
• Воспитывать чувства ответственности за результаты своего труда.

Задачи урока:

• вспомнить принцип работы основных логических элементов;
• запомнить порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении;
• обратить внимание на закономерность внесения исходных данных в таблицу, сравнить их с числами разных систем счисления;
• найти с помощью таблицы истинности значения двух логических функций.

Вид урока: комбинированный.

Тип урока: проверка знаний и изучение нового материала.

Методы организации учебной деятельности: фронтальная, групповая.

Система оценивания: проверка в парах.

Оборудование урока: Презентация урока, плакаты «Таблица истинности функции логического сложения», «Таблица истинности функции логического умножения», «Таблица истинности функции логического отрицания», «Оценочный лист», карточки с заданиями, мультимедийный проектор.

Место проведения урока: компьютерный класс.

Участники: ученики 8 Б класса.

Ход урока

I. Организационный момент (2 минуты)

СЛ1. На экране проецируется первый слайд презентации – надпись «Таблицы истинности».

— Здравствуйте, ребята. Мы продолжаем изучать основы логики и тема нашего сегодняшнего урока «Таблицы истинности». Я расскажу вам как можно определить истинность сложных высказываний посредством составления таблиц истинности.

СЛ2. Цель урока: сравнить способы заполнения таблиц истинности, выявить закономерности их заполнения.

СЛ3. Ребята, какие задачи нам надо решить чтобы достигнуть этой цели?

1. Повторить что называется высказыванием.
2. Что называется логической переменной.
3. Познакомиться с определением таблицы истинности.
4. Рассмотреть правила составления таблиц истинности.
5. Узнать приоритеты логических операций (сравнить их с порядком выполнения математических операций).
6. Внимательно разобрать 2 примера заполнения таблиц истинности.

СЛ4. Эпиграфом к уроку являются слова Б.Паскаля: “ВЕЛИЧИЕ ЧЕЛОВЕКА – В ЕГО СПОСОБНОСТИ МЫСЛИТЬ”.

Сегодня на уроке мы с вами должны мыслить и рассуждать вместе.

II. Повторение

СЛ5.

1. Что такое логика?

Логика — это наука о формах и способах мышления, это учение о способах рассуждений и доказательств.

2. Что такое алгебра логики?

Алгебра логики это наука об общих операциях аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, но и над другими математическими объектами, в том числе и над высказываниями.

3. Что называется высказыванием в алгебре логики?

Высказывание — это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается.

Можно сказать истинно оно или ложно.

Истинным будет высказывание в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей.

Ложным высказывание будет в том случае, когда оно противоречит реальной действительности.

4. Что называется логической переменной?

Логическая переменная — простое высказывание, содержащее только одну мысль.

Её символически обозначают латинскими буквами А, В, С.

Значения логической переменной могут быть только константы истина и ложь (1 и 0).

5. Что называют логической функцией?

Логическая функция это составное высказывание, которое содержит несколько простых мыслей, соединённых между собой с помощью логических операций.

6. Сколько основных логических операций существует? (три)

Давайте вспомним принцип их работы.

III. Самостоятельная работа

У вас на столах лежат листочки с самостоятельной работой.

СЛ6.

1. Подпишите листочек.
2. Заполните пропуски в таблицах истинности.
3. Проверить работу друг друга и поставить оценку.

Что было сложным в этой работе? Какие у вас возникли затруднения?

IV. Проверка самостоятельной работы

СЛ7.

1. Какой логической функции соответствует данная таблица истинности?

1. Конъюнкция
2. Дизъюнкция
3. Отрицание

Как называется эта функция по другому?

СЛ8.

2. Какой логической функции соответствует данная таблица истинности?

1. Конъюнкция
2. Дизъюнкция
3. Отрицание

Как называется эта функция по другому?

СЛ9.

3. Какой логической функции соответствует данная таблица истинности?

1. Конъюнкция
2. Дизъюнкция
3. Отрицание

Как называется эта функция по другому?

III. Объяснение нового материала

В математике функция принимает множество значений. А в логике только два значения 0 или 1.

Знаете ли вы кто является основателем двоичной системы счисления?

Правильно, Готфрид Вильгельм Лейбниц – немецкий ученый (философ, математик, физик, языковед)

СЛ 10. В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения: «Двоичная математика-прообраз творения.

1 представляет собой божественное начало, а 0 — небытие и высшее существо создаёт всё сущее из небытия точно таким же образом как 0 и 1 в двоичной системе выражают все числа.»

Итак: Логическая функция — это функция, в которой переменные принимают только два значения: логическая единица или логический ноль.

При знакомстве с принципом работы основных логических операций мы видели таблицы, которые отражали принцип работы этих элементов, мы называли их таблицами истинности. Какие таблицы можно называть таблицами истинности? Сейчас мы запишем определение в тетрадь.

СЛ11. Таблицу, показывающую, какие значения принимает сложное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний называют таблицей истинности сложных высказываний.

Запишем определение в тетрадь.

СЛ12. При построении таблиц истинности есть определенная последовательность действий.

Перед нами Алгоритм построения таблицы истинности.

Я распечатала его на листочках, чтобы вы вклеили их в тетрадь Итак первый шаг.

1. Подсчитать количество переменных n в формуле 2 3 .

2. Определить количество строк в таблице истинности m = 2 n .

3. Подсчитать количество логических операций в формуле.

4. Установить последовательность выполнения логических операций с учётом скобок и приоритетов.

5. Необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.

6. Выписать наборы входных переменных с учётом того, что они представляют собой натуральный ряд n разрядных двоичных чисел от 0 до 2 n –1.

7. Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

СЛ 13. Рассмотрим пример.

Построить таблицу истинности для A ˄ (B ˅ В ˄ С)

Записали в тетрадь. Для построения таблицы истинности.

1 Определить количество строк в таблице.

Как мы это делаем?

Считаем количество переменных. В нашем случае логическая функция содержит 3 переменные.

Какие? А и В и C.

Значит сколько строк будет в таблице?

Количество строк в таблице истинности должно быть равно 2³ = 8.

Верно. Что делаем дальше?

2. Определяем количество столбцов = количеству логических переменных плюс количество логических операций.

3. Сколько будет в нашем случае операций?

В нашем случае количество переменных равно трём, а количество логических операции – пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно 8.

Строим таблицу 8 столбцов, 9 строк (учитываем заголовок таблицы).

СЛ 14. Порядок операций определяется по аналогии с математикой.

Запишите в тетрадь.

(Мы сначала возводим в степень, затем выполняем операции в скобках, потом делаем умножение деление слева направо как видим их и в последнюю очередь сложение, умножение.

• отрицание
• конъюнкция
• дизъюнкция
• импликация
• эквивалентность

Какую операцию будем выполнять первой? Только учитывайте скобки и приоритеты, сначала необходимо выполнить логическое отрицание переменной В, а затем переменной С.

Сначала необходимо выполнить операции в скобках: найдём значение логического умножения, а затем логическое сложение.

В последнюю очередь выполним операцию конъюнкции

СЛ 15. Расставим порядок операций в нашем выражении.

Сл 16. Заполним заголовки столбцов нашей таблицы.

Построить таблицу истинности, описывающую работу логических элементов, несложно при небольшом количестве входных переменных. Если же число переменных больше трех, то таблица получается слишком большой. Так при наличии 4 переменных, количество наборов в таблице будет равно 16, а уже при 6 переменных — 64! А еще нужно учитывать скобки, приоритет и количество операций!

СЛ 17. Наборы входных переменных можно заполнять по следующему правилу.

а) определить количество наборов входных переменных(если 3 переменных значит 3 набора 4 переменные 4 набора);

б) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки 0, а нижнюю —1;

в) разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами 0 или 1, начиная с группы 0;

г) продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами 0 или 1 до тех пор, пока группы 0 и 1 не будут состоять из одного символа.

СЛ18. Заполним наборы входных переменных.

Разделим 1 колонку значений первой переменной пополам и заполним верхнюю часть колонки 0, а нижнюю 1.

СЛ19. Вторую колонку делим на 4 части и заполняем каждую по очереди единицами и нулями.

СЛ20. Третью колонку делим на 8 частей и в каждой клетке пишем по очереди 1 и 0.

Мы получили наборы значений исходных логических переменных с учётом того, что они представляют собой натуральный ряд 3-разрядных двоичных чисел от 0 до 7.

(Мы недавно изучали системы счисления, и работали с 8-ричной ПСС. Вы знаете, что каждое число 8-ричной ПСС можно представить триадой двоичных эквивалентов) вот перед вами числа от 1 до 7 представленные в восьмеричной системе счисления.

Заполняем таблицу истинности по столбцам. Начинаем:

СЛ21. Выполняем отрицание переменной В.

СЛ22. Выполняем отрицание переменной С.

СЛ23. Выполняем конъюнкцию двух отрицаний.

СЛ24. Выполним логическое сложение конъюнкции и переменной В.

Чтобы сконцентрировать своё внимание на нужных столбцах давайте пометим их снежинкой Обратите внимание другим цветом я выделила те значения в результирующем столбце которые встречаются реже.

СЛ25. А теперь выполняем последнюю операцию конъюнкцию (нужные столбцы я пометила восклицательным знаком.

В последнем столбце и находится значение нашего выражения.

Мы познакомились с первым способом заполнения таблиц истинности.

СЛ26. Если количество переменных небольшое можно использовать другой способ заполнения таблицы истинности.

Пример. Составьте таблицу истинности для выражения: (X1&X2) ˅ ( X1˅X2).

Идея заключается в том, что данную формулу нужно растянуть по горизонтали на страницу тетради так, чтобы под каждой переменной и каждой операцией осталось место для столбца значений.

Под формулой( подпишем столбцы возможных значений под каждой из переменных Х1 и Х2 последовательно (по приоритету операций) выпишем столбцы значений операций.

Источник

Логические выражения и таблица истинности

Таблица истинности — таблица, показывающая, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний.

Логическое выражение — составные высказывания в виде формулы.

Равносильные логические выражения – логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают. Для обозначения равносильности используется знак «=».

Алгоритм построения таблицы истинности:

1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

2. определить число строк в таблице по формуле m=2 n , где n — количество переменных;

3. подсчитать количество логических операций в формуле;

4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5. определить количество столбцов: число переменных + число операций;

6. выписать наборы входных переменных;

7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.

Заполнение таблицы:

1. разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть «0», а нижнюю «1»;

2. разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами «0» и «1», начиная с группы «0»;

3. продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами «0» или «1» до тех пор, пока группы «0» и «1» не будут состоять из одного символа.

Пример 1. Для формулы A/\ (B \/ ¬B /\¬C) постройте таблицу истинности.

Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк — 2 3 = 8.

Количество логических операций в формуле 5, количество логических переменных 3, следовательно количество столбцов — 3 + 5 = 8.

Пример 2. Определите истинность логического выражения F(А, В) = (А\/ В)/\(¬А\/¬В) .

1. В выражении две переменные А и В (n=2).

2. m_строк=2 n , m=2 2 =4 строки.

3. В формуле 5 логических операций.

4. Расставляем порядок действий

1) А\/ В; 2) ¬А; 3) ¬В; 4) ¬А\/¬В; 5) (А\/ В)/\(¬А\/¬В).

5. К_{столбцов}=n+5=2+5=7 столбцов.

А

В

А\/ В

¬А

¬В

¬А\/¬В

F

1

1

Вывод: логическое выражение принимает значение истина при наборах F(0,1)=1 и F(1,0)=1.

Пример 3. Построёте таблицу истинности для логического выражения

F = (A\/ B) /\ ¬С

1. В данной функции три логические переменные – А, В, С
2. количество строк таблицы = 2 3=8
3. В формуле 3 логические операции.
4. Расставляем порядок действий

1) А\/ В; 2) ¬С; 3) (AVB) /\ ¬С .

1. количество столбцов таблицы = 3 + 3 = 6

А

В

С

A\/B

(A\/B) /\ ¬С

1

1

1

Пример 4. Определите истинность формулы: F = ((С \/В) => В) /\ (А /\ В) => В.

Построим таблицу истинности этой формулы.

Ответ: формула является тождественно истинной.

Пример 5. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

Решение (вариант 1, через таблицы истинности):

Чтобы решить данную задачу можно построить часть таблицы истинности для каждой из четырех функций, заданных в ответе для заданных наборов входных переменных, и сравнить полученные таблицы с исходной:

X

Y

Z

F

¬X/\¬Y/\Z

¬X\/¬Y\/Z

X\/Y\/¬Z

X\/Y\/Z

1

1

1

1

Очевидно, что значения заданной функции F совпадают со значениями выражения X\/Y\/¬Z. Следовательно, правильный ответ – 3.

Ответ: 3

Решение (Вариант 2):

Чтобы не строить таблицу истинности для каждого выражения, можно просто перепроверить предложенные ответы по заданной таблице истинности. Т.е. в каждую из четырех предложенных функций последовательно подставлять значения переменных X, Y и Z, из заданной таблицы истинности и вычислять значения логического выражения. Если значения вычисляемого выражения совпадут со значением F во всех трех строчках заданной таблицы, то это и есть искомое выражение.

Рассмотрим данный конкретный пример:

1) первое заданное выражение ¬X/\¬Y/\Z = 0 при X=0, Y=0, Z=0, что не соответствует первой строке таблицы;

2) второе заданное выражение ¬X\/¬Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы;

3) третье выражение X\/Y\/¬Z соответствует F при всех предложенных комбинациях X,Y и Z;

4) четвертое выражение X\/Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы.

Источник

Таблица истинности логических операций — алгоритм построения

Под таблицей истинности понимают свод значений, которые может принять высказывание при сочетании различных входящих комбинаций. Другими словами, каждому набору функций или сигналам, присутствующим на входе чего-либо, соответствует строго определённые показатели на выходе. Все значения, являющиеся всевозможными высказываниями, называют логическими выражениями. Если в таблице последние столбцы логичных выражений идентичны, то рассматриваемый объект считается равносильным.

Любое выражение можно описать формулой, в которую будут включаться переменные, характеризующие состояния, и обозначающие функции знаки логических операций. Поэтому используя язык математики, в частности, алгебры, любое сложное высказывание можно разделить на несколько простых, а затем объединить логической связью.

Обычно значениями истинности описывают логическую функцию, у которой показатели параметров определяют верность. Раздел математики рассматривающий их на правдивость или ложность называется булевым. В 1854 году английский учёный Джордж Буль предложил метод, позволяющий проводить анализ классов и высказываний. Согласно ему, любое значение может принимать одно из двух состояний — истина или ложь.

Эти состояния принято обозначать арабскими цифрами один либо ноль или словами true и false. Это возможно из-за того, что для математики важна только истинность высказываний, а конкретное содержание второстепенно. Простые высказывания принято считать логическими переменными, а сложные — функциями логики. Выражения для упрощения записи обозначают латинскими буквами A, B, C.

Применение двух цифр подчёркивает соответствие между двоичной системой счисления и математической логикой. В итоге с помощью последней стало удобным описывать работу цифровых схем радиоэлектронной аппаратуры, алгоритмы в программировании, проводить синтез и анализ результата выполнения операций.

Суждение о правильности построения таблиц истинности для логических выражений основано на учёте всех переменных и операций, последовательно выполняющихся в рассматриваемой функции. Обычно для начертания используют 2 n +1 строк, где n обозначает количество входных переменных, и n+m столбцов, m — число значений на выходе.

Виды логических операций

В качестве наименьшей единицы измерения объёма данных принято считать бит. В него заносится одно из двух значений — ложь (0) или правда (1). Каждая ячейка, соответствующая биту, находится лишь в одном из этих состояний. Существуют определённые операции, используемые для действий с ячейками:

1. AND (И) — применяется для сравнения двух бит. Результатом действия будет единица, но лишь в том случае, если значения двух ячеек одинаковое. При остальных вариантах итог будет иметь устойчивое нулевое состояние.
2. OR (ИЛИ) — по сути, операция обратная AND. Результат становится нулевым, если содержимое двух сравниваемых бит одинаковое. В остальных случаях он равный единице.
3. XOR (ИЛИ) — если значения, содержащиеся в двух сравниваемых битах противоположны, при выполнении логического действия результат будет равный единице. Во всех остальных случаях он будет равняться нулю.
4. NOT (НЕ) — действие, используемое для одного бита. Если первоначально ячейка находилась в нулевом состоянии, то после выполнения над ней операции она станет равной единице и наоборот. Фактические это логическая инверсия.

Эти операции являются основными элементами при составлении таблиц истинности и получения возможного результата. На основании их построена алгебра Буля. Некоторые элементы получаются путём объединения нескольких операций. Так, существует состояние: NAND (И-НЕ) и NOR (ИЛИ-НЕ). Первый элемент является инверсией операции «И», а второй — «ИЛИ». На основании рассмотренных операторов строится работа всех цифровых интегральных схем.

В информатике существует своя терминология, обозначающая то или иное логическое действие. Так, AND называют операцией конъюнкции, OR — дизъюнкции, XOR — сложение по модулю 2, NOT — отрицание. Задача инженера при анализе схем или алгоритма сводится к выполнению булевой арифметики и упрощению выражений. Для этого используют различные правила и положения не требующих доказательства.

Аксиомы и законы

Построение таблиц в удобной форме позволяет определить, когда определённое действие или высказывание принимает верное значение, а в каком случае нет. В верхней строчке записывают логическую форму высказывания, а в столбцах — истинные значения. Некоторые комбинации высказываний всегда будут истинными или ложными, независимо от содержания. Поэтому и были сформулированы следующие законы:

1. Торжества. Записывается в виде утверждения: А = А. В этом случае таблица будет состоять из двух комбинаций: ложной и правдивой. Бинарная логическая связка «Если А, то А» является материальной импликацией. Для такого варианта всегда можно сказать, что А есть А. Этот закон обозначает то, что нельзя подменять одно понятие другим, иначе возникнут логические ошибки.
2. Противоречия. Согласно ему, утверждение, что А и НЕ-А, неверно: A & A = 0. Другими словами, если А истинное значение, то его отрицание не может быть ложным. То есть их перемножение будет всегда фальшивой операцией. Этот закон довольно часто применяется для упрощения сложных логических суждений.
3. Третьего исключённого. Закон записывается в виде A v A = 1 и обозначает, что в один и тот же момент высказывание может быть только правдивым или ложным. То есть третьего не дано.

Эти три закона фундаментальны. Без их соблюдения сделать любое правильное утверждение невозможно.

Для решения логических задач с помощью таблиц истинности используют различные формулы, соответствующие разного вида операциям. Одно из них логическое умножение (конъюнкция). В этом случае считается, что функция истинная лишь тогда, когда оба выражения являются верными: F = A & B. Другое логическое сложение (дизъюнкция). Оно гласит, что если оба выражения ложны, то и логическая функция будет неверной.

Кроме того, используется закон:

• инверсии (отрицания) — если логическое высказывание истинно, то отрицание его будет ложным выражением;
• импликации (следования) — для всегда истинного сложного логического выражения ложь будет тогда, когда из верности следует отрицание;
• эквивалентности (равнозначности) — выражение будет истинным лишь тогда, когда оба высказывания имеют одинаковое значение.

При построении таблиц нужно придерживаться установленного порядка выполнения упрощения операций. Вначале считают инверсию и конъюнкцию, а затем дизъюнкцию, импликацию и эквиваленцию. При изменении же порядка выполнения действий в описании логических операций используют скобки.

Алгоритм построения

Таблицы истинности показывают, какой вид может принять выражение при различных входящих в него значениях переменных. Для того чтобы их правильно построить и выполнить вычисление логического выражения нужно придерживаться установленного алгоритма. Построение таблиц выполняют в следующей последовательности:

• подсчитывают количество переменных n;
• вычисляют число строк для будущей таблицы используя формулу m = 2n+1;
• определяют число логических операций;
• устанавливают порядок выполнения операций в соответствии со скобками и приоритетами;
• строят таблицу с указанием столбцов и наборов значений, заданных логических операций;
• заполняют оставшиеся ячейки в таблице.

Для заполнения таблиц нужно упрощать выражения с учётом последовательности выполнения операций. При этом учитывать, что если значение какого-то из аргументов функции в соответствующей строке таблицы будет равное нулю, то записывать его нужно в виде отрицания.

Пример задания

Пусть необходимо построить таблицу для логического выражения F = (A → B) * (A + B). Эта формула состоит из двух логических переменных A и B и нескольких операций. Начинают построение с определения строк. Используя формулу 2n+1 для рассматриваемого примера можно установить, что их число будет: x = 22 + 1 = 5.

Теперь следует определить число столбцов. Для этого используется формула, в которой учитывается количество переменных и операций. Последние можно просто посчитать, сложив количество разных знаков, используемых в записи формулы. Но правильней сначала расставить порядок операций, а затем посчитать. Согласно порядку действия над операциями их нумерацию можно представить в следующей очерёдности:

1. Импликация в первой скобке.
2. Инверсия во второй скобке переменной A.
3. Отрицание во второй скобке неизвестной B.
4. Сложение во втором члене.
5. Конъюнкция.

В итоге получится, что столбцов будет: Y = 2 + 5 = 7. Теперь нужно построить таблицу 7Х5. В шапку первого и второго столбца вписывают переменные, а затем операции над ними. Затем в строках, соответствующих A и B нужно записать всё, что с ними может произойти. В итоге останется только правильно посчитать последний столбец.

Для этого нужно использовать законы. Необходимо выполнить логическое умножение значений в скобках. Первой и второй строчке будет соответствовать операция произведения один на один, что в ответе даст единицу. Третьей и четвёртой — ноль на один, что в итоге даст ноль. Последний столбец является главным для рассматриваемой логической функции. По нему можно узнать значение логической функции для любых форм переменных A и B.

Это довольно простая задача, содержащая всего две переменных. Но в реальности, например, в программировании, их может быть намного больше. Решать такие задания методом перебора проблематично. Поэтому при решении сложных примеров функцию вначале пытаются упростить.

Например, заданно выражение (x + y + z) * (x + y). По сути, оно записано в совершенно нормальной конъюнктивной форме. Но для приведения его к этому виду нужно, чтобы во втором выражении стояла z. Для того чтобы её добавить необходимо обратить внимание на то, что внутри скобок стоит логическое сложение. Поэтому дописав к нему ноль, результат не изменится. Добавить ноль через z можно, как ноль умножить на НЕ z. В итоге получится выражение (x + y + z) * (x + y + z + z), для которого, используя алгоритм составить таблицу уже не так и сложно.

Вычисления онлайн

В интернете есть сервисы, автоматически строящие таблицы истинности. Такие сайты предлагают свои услуги бесплатно и доступны даже тем, кто слабо ориентируется в теме. С их помощью можно находить таблицы для довольно сложных выражений, решение которых требует скрупулёзности в расчёте. В основе онлайн-вычислений заложены принципы логических законов, поэтому за достоверность результата можно не переживать. Тем более расчёт занимает совсем небольшое количество времени.

Для того чтобы воспользоваться сайтами-калькуляторами пользователю необходимо знать обозначение операций, иметь подключение к интернету и установленный веб-обозреватель, поддерживающий Flash-технологию. Регистрацию, указание личных данных сервисы, предлагающие такого рода услуги, не требуют.

Из различных порталов можно отметить три наиболее популярных калькулятора:

1. Allcalc.
2. Programforyou.
3. Uchim.

Эти сайты имеют интуитивно понятный интерфейс и что довольно полезно, на своих страницах содержат краткую теорию, используемую для составления таблиц истинности и даже примеры решений.

Источник